Номер 5, страница 24 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

5. Для квадратичной функции $y = -x^2 + 2x$ найдите значения аргумента, при которых значение функции равно -3.

Дана квадратичная функция $y = -x^2 + 2x$. Аргументом функции является переменная $x$, а значением функции — переменная $y$.

По условию задачи необходимо найти значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно -3. Для этого подставим $y = -3$ в уравнение функции:

$-3 = -x^2 + 2x$

Перенесем все слагаемые в одну часть уравнения, чтобы получить квадратное уравнение в стандартном виде $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Решить это уравнение можно несколькими способами.

Способ 1: Через дискриминант

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=-2$, $c=-3$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Способ 2: По теореме Виета

Для приведенного квадратного уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$ сумма корней должна быть равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней — свободному члену:

$x_1 + x_2 = 2$

$x_1 \cdot x_2 = -3$

Подбором находим, что этими числами являются 3 и -1:

$3 + (-1) = 2$

$3 \cdot (-1) = -3$

Оба способа дают одинаковые корни. Следовательно, при $x = 3$ и $x = -1$ значение функции $y = -x^2 + 2x$ равно -3.

Ответ: -1; 3.