Номер 8, страница 23 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

8. Для перевозки 105 т груза фирма рассматривала модели грузовых автомобилей МАЗ-4371СО. Чтобы выполнить работы в срок, было решено использовать грузовой автомобиль грузоподъемностью на 2 т больше. В результате для перевозки груза было сделано на 6 рейсов меньше, чем планировалось. Найдите грузоподъемность машины, на которой перевезли груз.

Пусть $x$ (т) — планируемая грузоподъемность автомобиля. Тогда для перевозки 105 т груза планировалось сделать $\frac{105}{x}$ рейсов.

По условию, был использован автомобиль с грузоподъемностью на 2 т больше, то есть его грузоподъемность составила $(x+2)$ т. На этом автомобиле для перевозки 105 т груза было сделано $\frac{105}{x+2}$ рейсов.

В результате было сделано на 6 рейсов меньше, чем планировалось. На основании этого можно составить уравнение:

$\frac{105}{x} - \frac{105}{x+2} = 6$

Для решения уравнения приведем левую часть к общему знаменателю $x(x+2)$. Учтем, что по смыслу задачи $x>0$.

$\frac{105(x+2) - 105x}{x(x+2)} = 6$

$\frac{105x + 210 - 105x}{x^2 + 2x} = 6$

$\frac{210}{x^2 + 2x} = 6$

Теперь можно записать уравнение в виде:

$6(x^2 + 2x) = 210$

Разделим обе части уравнения на 6:

$x^2 + 2x = 35$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 2x - 35 = 0$

Решим это уравнение с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144$

$\sqrt{D} = 12$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-2 + 12}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{-2 - 12}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

Корень $x_2 = -7$ не подходит по смыслу задачи, так как грузоподъемность не может быть отрицательной величиной. Следовательно, планируемая грузоподъемность автомобиля составляла 5 т.

Вопрос задачи — найти грузоподъемность машины, на которой перевезли груз. Эта грузоподъемность была на 2 т больше планируемой:

$5 + 2 = 7$ (т)

Ответ: 7 т.