Номер 6, страница 22 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

6. Треугольник $ABC$ — прямоугольный ($\angle C=90^\circ$), $AC = 4$ см, проекция катета $BC$ на гипотенузу равна 6 см. Найдите длину гипотенузы треугольника $ABC$.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ ($\angle C = 90^\circ$). $AB$ — гипотенуза, а $AC$ и $BC$ — катеты. Согласно условию, длина катета $AC = 4$ см.

Проведем высоту $CH$ из вершины прямого угла $C$ на гипотенузу $AB$. Отрезок $BH$ является проекцией катета $BC$ на гипотенузу, а отрезок $AH$ — проекцией катета $AC$ на гипотенузу. По условию задачи, длина проекции катета $BC$ на гипотенузу равна 6 см, следовательно, $BH = 6$ см.

Обозначим искомую длину гипотенузы $AB$ переменной $c$. Длина гипотенузы равна сумме длин проекций катетов на нее: $AB = AH + BH$. Из этого соотношения мы можем выразить длину проекции $AH$: $AH = AB - BH = c - 6$.

Воспользуемся метрическим соотношением в прямоугольном треугольнике, которое гласит, что квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. Для катета $AC$ это свойство записывается в виде формулы: $AC^2 = AB \cdot AH$

Подставим известные значения и полученное выражение для $AH$ в эту формулу: $4^2 = c \cdot (c - 6)$

Теперь решим полученное уравнение относительно $c$: $16 = c^2 - 6c$ $c^2 - 6c - 16 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни, например, с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Корнями уравнения являются числа 8 и -2, так как их произведение равно -16, а сумма равна 6. Также можно рассчитать через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100$ $c_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 10}{2} = \frac{16}{2} = 8$ $c_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 10}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Так как длина гипотенузы является геометрической величиной, она не может быть отрицательной. Поэтому мы выбираем единственный подходящий корень $c = 8$. Таким образом, длина гипотенузы треугольника $ABC$ составляет 8 см.

Ответ: 8 см.