Номер 9, страница 21 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 4 и в остатке 3. Если это же двузначное число разделить на произведение его цифр, то в частном получится 3 и в остатке 5. Найдите это двузначное число.

Пусть искомое двузначное число можно представить в виде $10a + b$, где $a$ — число десятков, а $b$ — число единиц. Согласно определению двузначного числа, $a$ является целым числом от 1 до 9, а $b$ — целым числом от 0 до 9.

Из первого условия, что при делении числа на сумму его цифр $(a+b)$ в частном получается 4 и в остатке 3, мы можем составить уравнение. Используя формулу деления с остатком (Делимое = Делитель $\times$ Частное + Остаток), получаем: $10a + b = 4(a + b) + 3$

Раскроем скобки и упростим уравнение: $10a + b = 4a + 4b + 3$ $10a - 4a = 4b - b + 3$ $6a = 3b + 3$

Разделив обе части на 3, получим $2a = b + 1$, откуда выразим $b$ через $a$: $b = 2a - 1$

Из второго условия, что при делении числа на произведение его цифр $(a \cdot b)$ в частном получается 3 и в остатке 5, составим второе уравнение: $10a + b = 3(a \cdot b) + 5$

Теперь подставим выражение $b = 2a - 1$ во второе уравнение: $10a + (2a - 1) = 3a(2a - 1) + 5$

Упростим полученное уравнение и приведем его к стандартному виду квадратного уравнения: $12a - 1 = 6a^2 - 3a + 5$ $6a^2 - 15a + 6 = 0$

Разделим все члены уравнения на 3: $2a^2 - 5a + 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

Корни уравнения: $a_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{4} = \frac{5 + 3}{4} = 2$ $a_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{4} = \frac{5 - 3}{4} = 0.5$

Поскольку $a$ — это цифра десятков, она должна быть целым числом. Следовательно, подходит только корень $a = 2$.

Найдем $b$, подставив значение $a=2$ в выражение $b = 2a - 1$: $b = 2 \cdot 2 - 1 = 3$

Таким образом, искомое число состоит из цифр $a=2$ и $b=3$, то есть это число 23.

Выполним проверку.

1. Сумма цифр: $2+3=5$. Деление 23 на 5: $23 = 5 \cdot 4 + 3$. Частное 4, остаток 3. Условие выполнено.

2. Произведение цифр: $2 \cdot 3=6$. Деление 23 на 6: $23 = 6 \cdot 3 + 5$. Частное 3, остаток 5. Условие выполнено.

Ответ: 23