Номер 8, страница 21 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

8. Решите уравнение

$\frac{7}{x^2 - x - 12} + \frac{1}{x+3} = -1$

Исходное уравнение: $$ \frac{7}{x^2 - x - 12} + \frac{1}{x+3} = -1 $$

Вначале найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменной x. Знаменатели дробей не должны быть равны нулю.

1. Знаменатель $x^2 - x - 12 \neq 0$. Чтобы найти значения x, которые нужно исключить, решим квадратное уравнение $x^2 - x - 12 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -12. Следовательно, корнями являются $x_1 = 4$ и $x_2 = -3$. Таким образом, знаменатель можно разложить на множители: $x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3)$. Условие $x^2 - x - 12 \neq 0$ означает, что $x \neq 4$ и $x \neq -3$.

2. Знаменатель $x + 3 \neq 0$, что означает $x \neq -3$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \neq 4$ и $x \neq -3$.

Теперь подставим разложение знаменателя в исходное уравнение: $$ \frac{7}{(x - 4)(x + 3)} + \frac{1}{x + 3} = -1 $$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x - 4)(x + 3)$: $$ \frac{7}{(x - 4)(x + 3)} + \frac{1 \cdot (x - 4)}{(x + 3)(x - 4)} = -1 $$

Сложим дроби: $$ \frac{7 + x - 4}{(x - 4)(x + 3)} = -1 $$ $$ \frac{x + 3}{(x - 4)(x + 3)} = -1 $$

Поскольку из ОДЗ мы знаем, что $x \neq -3$, то выражение $x + 3$ не равно нулю, и мы можем сократить на него дробь: $$ \frac{1}{x - 4} = -1 $$

Теперь решим полученное простое уравнение. Умножим обе части на $(x - 4)$, что допустимо, так как $x \neq 4$: $$ 1 = -1 \cdot (x - 4) $$ $$ 1 = -x + 4 $$

Перенесем x в левую часть, а 1 в правую: $$ x = 4 - 1 $$ $$ x = 3 $$

Полученный корень $x = 3$ удовлетворяет области допустимых значений ($x \neq 4$ и $x \neq -3$), следовательно, является решением уравнения.

Ответ: 3