Номер 5, страница 20 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

5. В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ $O$ — точка пересечения диагоналей трапеции, $BC = 8$ см, $BO = 4$ см, $OD = 6$ см. Найдите среднюю линию трапеции.

Дано: трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. $BC = 8$ см, $BO = 4$ см, $OD = 6$ см.

Рассмотрим треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$.
Поскольку $ABCD$ — трапеция, ее основания параллельны: $BC \parallel AD$.
1. $\angle BOC = \angle DOA$ как вертикальные углы.
2. $\angle CBO = \angle ADO$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD$.
Следовательно, треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$ подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон:
$\frac{BC}{AD} = \frac{BO}{OD}$

Подставим известные значения в эту пропорцию, чтобы найти длину основания $AD$:
$\frac{8}{AD} = \frac{4}{6}$
$4 \cdot AD = 8 \cdot 6$
$4 \cdot AD = 48$
$AD = \frac{48}{4} = 12$ см.

Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований. Обозначим среднюю линию буквой $m$.
$m = \frac{AD + BC}{2}$

Теперь подставим найденные значения длин оснований:
$m = \frac{12 + 8}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

Ответ: 10 см.