Номер 5, страница 26 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

5. Угол между высотой прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, и одним из катетов равен $60^\circ$. Второй катет равен 16 см. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.

Обозначим прямоугольный треугольник как $ABC$, где $\angle C = 90^\circ$. Катеты треугольника — $AC$ и $BC$, гипотенуза — $AB$.

Проведем высоту $CH$ из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$. По определению, $CH \perp AB$, поэтому треугольники $AHC$ и $BHC$ являются прямоугольными.

Согласно условию, угол между высотой $CH$ и одним из катетов равен $60^\circ$. Предположим, что этот угол образован высотой и катетом $AC$, то есть $\angle ACH = 60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$. Сумма острых углов в нем равна $90^\circ$. Тогда угол $\angle A$ (также обозначаемый как $\angle CAH$) равен: $\angle A = 90^\circ - \angle ACH = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Теперь вернемся к исходному треугольнику $ABC$. Зная, что $\angle C = 90^\circ$ и $\angle A = 30^\circ$, найдем третий угол $\angle B$: $\angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

В условии задачи сказано, что "второй катет равен 16 см". Так как мы предположили, что угол в $60^\circ$ образован высотой и катетом $AC$, то "вторым" катетом является $BC$. Следовательно, $BC = 16$ см.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ катет $BC$ находится напротив угла $A = 30^\circ$. По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы: $BC = \frac{1}{2}AB$.

Из этого соотношения мы можем выразить и найти длину гипотенузы $AB$: $AB = 2 \cdot BC = 2 \cdot 16 = 32$ см.

Радиус $R$ окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы, так как центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.

$R = \frac{AB}{2} = \frac{32}{2} = 16$ см.

Ответ: 16 см.