Номер 10, страница 27 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. Дан параллелограмм $ABCD$. На стороне $BC$ взята точка $K$, такая, что $AK$ — биссектриса угла $A$, а $DK$ — биссектриса угла $D$ параллелограмма. Найдите площадь параллелограмма, если $AK = 8$ см, $DK = 6$ см.

В параллелограмме ABCD сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. Следовательно, $∠A + ∠D = 180°$.

По условию задачи, AK — биссектриса угла A, а DK — биссектриса угла D. Это означает, что $∠DAK = \frac{1}{2}∠A$ и $∠ADK = \frac{1}{2}∠D$.

Рассмотрим треугольник ADK. Сумма его углов $∠DAK$ и $∠ADK$ равна: $∠DAK + ∠ADK = \frac{1}{2}∠A + \frac{1}{2}∠D = \frac{1}{2}(∠A + ∠D) = \frac{1}{2} \cdot 180° = 90°$.

Так как сумма двух углов в треугольнике ADK равна 90°, то третий угол $∠AKD$ равен $180° - 90° = 90°$. Таким образом, треугольник ADK является прямоугольным, где AK и DK — катеты, а AD — гипотенуза.

По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы AD: $AD^2 = AK^2 + DK^2$. Подставив известные значения, получаем: $AD^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$. Следовательно, $AD = \sqrt{100} = 10$ см.

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту. Примем сторону AD за основание. Высота параллелограмма, проведенная к основанию AD, будет равна расстоянию между параллельными прямыми AD и BC. Поскольку точка K лежит на прямой BC, эта высота равна высоте треугольника ADK, проведенной из вершины K к стороне AD. Обозначим эту высоту как $h$.

Площадь прямоугольного треугольника ADK можно вычислить как половину произведения его катетов: $S_{ADK} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot DK = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24$ см$^2$.

С другой стороны, площадь этого же треугольника равна половине произведения его основания AD на высоту $h$: $S_{ADK} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h$.

Отсюда можно выразить высоту $h$: $h = \frac{2 \cdot S_{ADK}}{AD} = \frac{2 \cdot 24}{10} = 4.8$ см.

Теперь, зная основание параллелограмма AD и его высоту $h$, находим площадь параллелограмма ABCD: $S_{ABCD} = AD \cdot h = 10 \cdot 4.8 = 48$ см$^2$.

Ответ: 48 см$^2$.