Номер 7, страница 29 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

7. Определите количество целых решений системы неравенств

$$ \begin{cases} x^2 \le 6 - x, \\ \frac{x+3}{2} - 1 > \frac{x-4}{7}. \end{cases} $$

Для определения количества целых решений системы неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности, найти пересечение их решений, а затем подсчитать количество целых чисел в полученном промежутке.

1. Решим первое неравенство системы:

$x^2 \le 6 - x$

Перенесем все члены в левую часть неравенства, чтобы получить стандартный вид квадратного неравенства:

$x^2 + x - 6 \le 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + x - 6 = 0$. Для этого можно использовать дискриминант или теорему Виета.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$

Корни уравнения равны:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}$

$x_1 = \frac{-1 - 5}{2} = -3$

$x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2$

Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$), ветви параболы $y = x^2 + x - 6$ направлены вверх. Следовательно, значения функции не положительны ($y \le 0$) на промежутке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение первого неравенства: $x \in [-3, 2]$.

2. Решим второе неравенство системы:

$\frac{x+3}{2} - 1 > \frac{x-4}{7}$

Сначала упростим левую часть, приведя её к общему знаменателю:

$\frac{x+3-2}{2} > \frac{x-4}{7}$

$\frac{x+1}{2} > \frac{x-4}{7}$

Теперь умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 7, то есть на 14. Так как 14 является положительным числом, знак неравенства не изменится:

$14 \cdot \frac{x+1}{2} > 14 \cdot \frac{x-4}{7}$

$7(x+1) > 2(x-4)$

Раскроем скобки:

$7x + 7 > 2x - 8$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$7x - 2x > -8 - 7$

$5x > -15$

Разделим обе части на 5:

$x > -3$

Решение второго неравенства: $x \in (-3, \infty)$.

3. Найдем решение системы, которое является пересечением решений обоих неравенств:

$x \in [-3, 2] \cap (-3, \infty)$

Пересечением этих двух множеств является полуинтервал $x \in (-3, 2]$.

4. Определим количество целых решений. Нам нужно найти все целые числа $x$, которые удовлетворяют условию $-3 < x \le 2$.

К таким целым числам относятся: -2, -1, 0, 1, 2.

Подсчитав их, получаем 5 целых решений.

Ответ: 5