Номер 10, страница 29 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. Дан параллелограмм $ABCD$. На стороне $AD$ взята точка $M$, такая, что $BM$ — биссектриса угла $B$, а $CM$ — биссектриса угла $C$ параллелограмма. Найдите площадь параллелограмма, если $BM = 12$ см, $CM = 16$ см.

В параллелограмме $ABCD$ сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180°$. Следовательно, $∠ABC + ∠BCD = 180°$.
По условию, $BM$ – биссектриса угла $B$, а $CM$ – биссектриса угла $C$. Это означает, что $∠MBC = \frac{1}{2}∠ABC$ и $∠MCB = \frac{1}{2}∠BCD$.
Рассмотрим треугольник $BCM$. Сумма углов в треугольнике равна $180°$, поэтому:
$∠BMC + ∠MBC + ∠MCB = 180°$
Подставим выражения для углов $∠MBC$ и $∠MCB$:
$∠BMC + \frac{1}{2}∠ABC + \frac{1}{2}∠BCD = 180°$
$∠BMC + \frac{1}{2}(∠ABC + ∠BCD) = 180°$
Так как $∠ABC + ∠BCD = 180°$, получаем:
$∠BMC + \frac{1}{2} \cdot 180° = 180°$
$∠BMC + 90° = 180°$
$∠BMC = 90°$.
Таким образом, треугольник $BCM$ является прямоугольным, а отрезки $BM$ и $CM$ – его катеты.

Площадь прямоугольного треугольника $BCM$ равна половине произведения его катетов:
$S_{\triangle BCM} = \frac{1}{2} \cdot BM \cdot CM$.
Подставим известные значения $BM = 12$ см и $CM = 16$ см:
$S_{\triangle BCM} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96$ см².

Площадь треугольника, основание которого совпадает со стороной параллелограмма, а вершина лежит на противоположной стороне, равна половине площади параллелограмма. В нашем случае основание $BC$ треугольника $BCM$ является стороной параллелограмма $ABCD$, а вершина $M$ лежит на противоположной стороне $AD$. Высота треугольника $BCM$, проведенная из вершины $M$ к основанию $BC$, равна высоте параллелограмма, проведенной между сторонами $AD$ и $BC$.
Следовательно, $S_{\triangle BCM} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.
Отсюда находим площадь параллелограмма:
$S_{ABCD} = 2 \cdot S_{\triangle BCM} = 2 \cdot 96 = 192$ см².

Ответ: 192 см².