Номер 8, страница 29 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

8. Найдите все значения переменной, при которых разность дробей $\frac{x}{x-2}$ и $\frac{1}{x}$ равна дроби $\frac{4}{x^2-2x}$.

Согласно условию, необходимо найти все значения переменной, при которых разность дробей $ \frac{x}{x-2} $ и $ \frac{1}{x} $ равна дроби $ \frac{4}{x^2 - 2x} $.
Фраза "разность дробей А и Б" может трактоваться как $А-Б$ или как $Б-А$. Рассмотрим оба случая, хотя в математической практике под разностью чисел $a$ и $b$ обычно понимают $a-b$.

Вариант 1: $ \frac{x}{x-2} - \frac{1}{x} = \frac{4}{x^2 - 2x} $

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:
$x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$
$x \neq 0$
$x^2 - 2x \neq 0 \implies x(x-2) \neq 0 \implies x \neq 0 \text{ и } x \neq 2$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)$.

Теперь решим уравнение. Разложим знаменатель в правой части на множители: $x^2 - 2x = x(x-2)$.
$ \frac{x}{x-2} - \frac{1}{x} = \frac{4}{x(x-2)} $

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x-2)$:
$ \frac{x \cdot x}{x(x-2)} - \frac{1 \cdot (x-2)}{x(x-2)} = \frac{4}{x(x-2)} $
$ \frac{x^2 - (x-2)}{x(x-2)} = \frac{4}{x(x-2)} $
$ \frac{x^2 - x + 2}{x(x-2)} = \frac{4}{x(x-2)} $

Поскольку мы работаем в области допустимых значений, где знаменатель не равен нулю, мы можем приравнять числители:
$ x^2 - x + 2 = 4 $
$ x^2 - x - 2 = 0 $

Это квадратное уравнение. Решим его, например, по теореме Виета. Сумма корней равна $1$, а их произведение равно $-2$. Корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Теперь проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x \neq 0$, $x \neq 2$).
Корень $x_1 = 2$ не входит в ОДЗ, так как при этом значении знаменатель $x-2$ обращается в ноль. Следовательно, это посторонний корень.
Корень $x_2 = -1$ входит в ОДЗ. Этот корень является решением.

Вариант 2: $ \frac{1}{x} - \frac{x}{x-2} = \frac{4}{x^2 - 2x} $

Область допустимых значений та же: $x \neq 0$ и $x \neq 2$.
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$ \frac{1 \cdot (x-2)}{x(x-2)} - \frac{x \cdot x}{x(x-2)} = \frac{4}{x(x-2)} $
$ \frac{x-2 - x^2}{x(x-2)} = \frac{4}{x(x-2)} $

Приравняем числители, работая в ОДЗ:
$ -x^2 + x - 2 = 4 $
$ -x^2 + x - 6 = 0 $
Умножим обе части на $-1$:
$ x^2 - x + 6 = 0 $

Найдем дискриминант $D$ этого квадратного уравнения:
$ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23 $
Так как дискриминант $D < 0$, данное уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, после рассмотрения обоих возможных вариантов, мы приходим к выводу, что существует только одно значение переменной, удовлетворяющее условию.
Ответ: -1