Номер 6, страница 28 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

6. Найдите значение выражения $\frac{1}{2-\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{2}-1}$.

Для нахождения значения данного выражения необходимо упростить каждую дробь, избавившись от иррациональности в знаменателе. Для этого используется метод умножения числителя и знаменателя дроби на выражение, сопряженное знаменателю. При этом используется формула разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$.

1. Упростим первое слагаемое $\frac{1}{2-\sqrt{3}}$.

Сопряженным выражением к знаменателю $2-\sqrt{3}$ является $2+\sqrt{3}$. Умножим числитель и знаменатель на него:

$\frac{1}{2-\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot (2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{2+\sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2+\sqrt{3}}{4 - 3} = \frac{2+\sqrt{3}}{1} = 2+\sqrt{3}$.

2. Упростим второе слагаемое $\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$.

Сопряженным выражением к знаменателю $\sqrt{2}-\sqrt{3}$ является $\sqrt{2}+\sqrt{3}$. Умножим числитель и знаменатель на него:

$\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2 - 3} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{-1} = -(\sqrt{2}+\sqrt{3}) = -\sqrt{2}-\sqrt{3}$.

3. Упростим третье слагаемое $\frac{1}{\sqrt{2}-1}$.

Сопряженным выражением к знаменателю $\sqrt{2}-1$ является $\sqrt{2}+1$. Умножим числитель и знаменатель на него:

$\frac{1}{\sqrt{2}-1} = \frac{1 \cdot (\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{2}+1}{2 - 1} = \frac{\sqrt{2}+1}{1} = \sqrt{2}+1$.

4. Теперь сложим полученные упрощенные выражения:

$(2+\sqrt{3}) + (-\sqrt{2}-\sqrt{3}) + (\sqrt{2}+1)$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2 + \sqrt{3} - \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 1 = (2+1) + (\sqrt{3}-\sqrt{3}) + (-\sqrt{2}+\sqrt{2}) = 3 + 0 + 0 = 3$.

Ответ: 3