Номер 5, страница 28 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

5. Угол между высотой прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, и катетом, длина которого 12 см, равен $30^\circ$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$. Проведем высоту $CD$ из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$.
По условию задачи, угол между высотой $CD$ и одним из катетов равен $30^\circ$. Пусть этим катетом будет $AC$, тогда $\angle ACD = 30^\circ$. Длина этого катета $AC = 12$ см.
Рассмотрим треугольник $ADC$. Он является прямоугольным, поскольку $CD$ — высота и, следовательно, $\angle CDA = 90^\circ$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Значит, $\angle A + \angle ACD = 90^\circ$.
Отсюда можем найти угол $A$:
$\angle A = 90^\circ - \angle ACD = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.
Теперь вернемся к исходному треугольнику $ABC$. Мы знаем, что $\angle A = 60^\circ$, а прилежащий к этому углу катет $AC = 12$ см. Связь между углом, прилежащим катетом и гипотенузой $AB$ в прямоугольном треугольнике выражается через косинус:
$\cos A = \frac{AC}{AB}$
Подставим известные значения:
$\cos 60^\circ = \frac{12}{AB}$
Так как значение $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, получаем:
$\frac{1}{2} = \frac{12}{AB}$
Из этого уравнения находим длину гипотенузы:
$AB = 12 \times 2 = 24$ см.
Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится на середине его гипотенузы, а ее радиус $R$ равен половине длины гипотенузы.
$R = \frac{AB}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.
Ответ: 12 см.