Номер 8, страница 27 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

8. Найдите все значения переменной, при которых разность дробей $\frac{x}{x+1}$ и $\frac{1}{x}$ равна дроби $\frac{1}{x^2+x}$.

Согласно условию, необходимо найти все значения переменной $x$, при которых разность дробей $ \frac{x}{x+1} $ и $ \frac{1}{x} $ равна дроби $ \frac{1}{x^2+x} $.

Так как порядок вычитания не указан, рассмотрим два возможных случая.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$. Знаменатели дробей в уравнении не могут быть равны нулю:
1. $x+1 \ne 0 \Rightarrow x \ne -1$
2. $x \ne 0$
3. $x^2+x \ne 0 \Rightarrow x(x+1) \ne 0 \Rightarrow x \ne 0$ и $x \ne -1$
Следовательно, ОДЗ: $x$ – любое число, кроме $0$ и $-1$.

Случай 1. Разность дробей равна $ \frac{x}{x+1} - \frac{1}{x} $.

Составим уравнение: $ \frac{x}{x+1} - \frac{1}{x} = \frac{1}{x^2+x} $

Разложим знаменатель в правой части на множители: $x^2+x = x(x+1)$. Это общий знаменатель для дробей в левой части. $ \frac{x \cdot x}{x(x+1)} - \frac{1 \cdot (x+1)}{x(x+1)} = \frac{1}{x(x+1)} $

$ \frac{x^2 - (x+1)}{x(x+1)} = \frac{1}{x(x+1)} $

$ \frac{x^2 - x - 1}{x(x+1)} = \frac{1}{x(x+1)} $

На области допустимых значений можно умножить обе части уравнения на $x(x+1)$, чтобы избавиться от знаменателя, или, что то же самое, приравнять числители: $ x^2 - x - 1 = 1 $

$ x^2 - x - 2 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $1$, а их произведение равно $-2$. Корни: $x_1=2$ и $x_2=-1$.
Можно также найти корни через дискриминант: $ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 $
$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1+3}{2} = 2 $
$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1-3}{2} = -1 $

Сравним корни с ОДЗ. Корень $x=2$ удовлетворяет ОДЗ. Корень $x=-1$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому является посторонним.

Итак, в первом случае решением является $x=2$.

Случай 2. Разность дробей равна $ \frac{1}{x} - \frac{x}{x+1} $.

Составим уравнение: $ \frac{1}{x} - \frac{x}{x+1} = \frac{1}{x^2+x} $

Приведем левую часть к общему знаменателю $x(x+1)$: $ \frac{1 \cdot (x+1) - x \cdot x}{x(x+1)} = \frac{1}{x(x+1)} $

$ \frac{x+1-x^2}{x(x+1)} = \frac{1}{x(x+1)} $

Приравняем числители: $ -x^2+x+1 = 1 $

$ -x^2+x = 0 $

$ x^2 - x = 0 $

Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $ x(x-1) = 0 $

Отсюда получаем два возможных корня: $x_1=0$ и $x_2=1$.

Сравним корни с ОДЗ. Корень $x=0$ не удовлетворяет ОДЗ. Корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ.

Итак, во втором случае решением является $x=1$.

Объединив решения, полученные в обоих случаях, находим все искомые значения переменной.

Ответ: $1; 2$.