Номер 7, страница 27 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

7. Определите количество целых решений системы нера-

венств

$\begin{cases} \frac{x+2}{2} - 3 \le \frac{x-3}{3}, \\ x^2 < 5x + 6. \end{cases}$

Для нахождения количества целых решений системы неравенств, необходимо решить каждое неравенство по отдельности, найти пересечение их решений и затем посчитать количество целых чисел в этом пересечении.

Решим первое неравенство:

$\frac{x+2}{2} - 3 \le \frac{x-3}{3}$

Сначала приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{x+2-2 \cdot 3}{2} \le \frac{x-3}{3}$

$\frac{x-4}{2} \le \frac{x-3}{3}$

Умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 3, то есть на 6. Так как 6 > 0, знак неравенства не меняется:

$6 \cdot \frac{x-4}{2} \le 6 \cdot \frac{x-3}{3}$

$3(x-4) \le 2(x-3)$

Раскроем скобки:

$3x - 12 \le 2x - 6$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$3x - 2x \le 12 - 6$

$x \le 6$

Решением первого неравенства является промежуток $(-\infty; 6]$.

Теперь решим второе неравенство:

$x^2 < 5x + 6$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство:

$x^2 - 5x - 6 < 0$

Для решения найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 5x - 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно -6. Отсюда корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 6$.

Неравенство можно представить в виде $(x+1)(x-6) < 0$. Графиком функции $y = x^2 - 5x - 6$ является парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между своими корнями.

Следовательно, решение второго неравенства: $-1 < x < 6$. В виде промежутка это записывается как $(-1; 6)$.

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств:

$\begin{cases} x \le 6 \\ -1 < x < 6 \end{cases}$

Пересечение этих двух множеств дает нам интервал $(-1; 6)$.

Нам нужно найти количество целых решений, принадлежащих этому интервалу. Выпишем все целые числа $x$, удовлетворяющие условию $-1 < x < 6$:

0, 1, 2, 3, 4, 5.

Подсчитаем их количество: всего 6 чисел.

Ответ: 6.