Номер 6, страница 26 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

6. Найдите значение выражения

$\frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+2}$

Для того чтобы найти значение выражения, мы упростим каждую дробь, избавившись от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное ее знаменателю. Это позволит использовать формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

Рассмотрим первое слагаемое $ \frac{1}{1 + \sqrt{2}} $. Для удобства поменяем слагаемые в знаменателе местами, а затем умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ \sqrt{2} - 1 $:

$ \frac{1}{1 + \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{1 \cdot (\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1} = \sqrt{2} - 1 $.

Рассмотрим второе слагаемое $ \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} $. Также поменяем слагаемые в знаменателе местами и умножим на сопряженное выражение $ \sqrt{3} - \sqrt{2} $:

$ \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} - \sqrt{2} $.

Рассмотрим третье слагаемое $ \frac{1}{\sqrt{3} + 2} $. Так как $2 = \sqrt{4}$, поменяем слагаемые местами и умножим на сопряженное выражение $ 2 - \sqrt{3} $:

$ \frac{1}{\sqrt{3} + 2} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{1 \cdot (2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{2 - \sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3} $.

Теперь подставим упрощенные дроби обратно в исходное выражение и выполним сложение:

$ (\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (2 - \sqrt{3}) $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Корни взаимно уничтожаются (такой тип суммы называется телескопической):

$ \sqrt{2} - 1 + \sqrt{3} - \sqrt{2} + 2 - \sqrt{3} = (\sqrt{2} - \sqrt{2}) + (\sqrt{3} - \sqrt{3}) + (2 - 1) = 0 + 0 + 1 = 1 $.

Ответ: 1