Номер 5, страница 30 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

5. Периметр ромба $ABCD$ равен 48 см. Угол между стороной $AD$ и диагональю $AC$ равен $30^\circ$. Найдите диагональ $BD$ ромба.

Поскольку $ABCD$ — ромб, все его стороны равны. Периметр ромба — это сумма длин всех его четырех сторон. Найдем длину стороны ромба, обозначив ее как $a$.

$P = 4a = 48$ см

$a = \frac{48}{4} = 12$ см

Следовательно, $AB = BC = CD = AD = 12$ см.

В ромбе диагонали являются биссектрисами его углов. По условию, угол между стороной $AD$ и диагональю $AC$ равен $30^{\circ}$. Это значит, что $\angle CAD = 30^{\circ}$.

Так как диагональ $AC$ является биссектрисой угла $\angle DAB$, то полный угол $\angle DAB$ равен удвоенному значению угла $\angle CAD$:

$\angle DAB = 2 \cdot \angle CAD = 2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ}$

Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. Он образован двумя сторонами ромба $AB$, $AD$ и диагональю $BD$. Мы знаем, что $AB = AD = 12$ см. Таким образом, треугольник $\triangle ABD$ является равнобедренным.

Угол при вершине этого равнобедренного треугольника $\angle DAB = 60^{\circ}$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов в треугольнике равна $180^{\circ}$, поэтому углы $\angle ABD$ и $\angle ADB$ равны:

$\angle ABD = \angle ADB = \frac{180^{\circ} - 60^{\circ}}{2} = \frac{120^{\circ}}{2} = 60^{\circ}$

Так как все три угла треугольника $\triangle ABD$ равны $60^{\circ}$, он является равносторонним. В равностороннем треугольнике все стороны равны.

Следовательно, $BD = AB = AD = 12$ см.

Ответ: 12 см.