Номер 8, страница 31 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

8. Найдите значение выражения $\sqrt{8-2\sqrt{7}} + \sqrt{32-10\sqrt{7}}$.

В ответ запишите число, обратное полученному.

Чтобы найти значение выражения $\sqrt{8 - 2\sqrt{7}} + \sqrt{32 - 10\sqrt{7}}$, необходимо упростить каждое подкоренное выражение, представив его в виде полного квадрата по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Для первого слагаемого $\sqrt{8 - 2\sqrt{7}}$ ищем такие $a$ и $b$, что $a^2 + b^2 = 8$ и $2ab = 2\sqrt{7}$. Из второго уравнения получаем $ab = \sqrt{7}$. Методом подбора находим, что $a=\sqrt{7}$ и $b=1$. Проверяем: $a^2+b^2 = (\sqrt{7})^2 + 1^2 = 7+1=8$. Условие выполняется. Значит, $8 - 2\sqrt{7} = (\sqrt{7}-1)^2$. Тогда $\sqrt{8 - 2\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7}-1)^2} = |\sqrt{7}-1|$. Так как $\sqrt{7} > 1$, то $\sqrt{7}-1 > 0$, и значение первого слагаемого равно $\sqrt{7}-1$.

Для второго слагаемого $\sqrt{32 - 10\sqrt{7}}$ ищем такие $c$ и $d$, что $c^2 + d^2 = 32$ и $2cd = 10\sqrt{7}$. Из второго уравнения получаем $cd = 5\sqrt{7}$. Методом подбора находим, что $c=5$ и $d=\sqrt{7}$. Проверяем: $c^2+d^2 = 5^2 + (\sqrt{7})^2 = 25+7=32$. Условие выполняется. Значит, $32 - 10\sqrt{7} = (5-\sqrt{7})^2$. Тогда $\sqrt{32 - 10\sqrt{7}} = \sqrt{(5-\sqrt{7})^2} = |5-\sqrt{7}|$. Так как $5 = \sqrt{25} > \sqrt{7}$, то $5-\sqrt{7} > 0$, и значение второго слагаемого равно $5-\sqrt{7}$.

Теперь сложим полученные результаты: $(\sqrt{7}-1) + (5-\sqrt{7}) = \sqrt{7} - 1 + 5 - \sqrt{7} = 4$.

По условию, в ответ необходимо записать число, обратное полученному. Обратное к 4 число — это $\frac{1}{4}$, что в десятичной записи равно 0,25.

Ответ: 0,25