Номер 9, страница 31 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. Периметр параллелограмма равен 30 см, соседние стороны относятся как $2:3$. Угол между высотами, проведенными к соседним сторонам из вершины тупого угла параллелограмма, равен $60^\circ$. Найдите площадь параллелограмма.

1. Нахождение сторон параллелограмма

Пусть соседние стороны параллелограмма равны a и b.

Периметр параллелограмма $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$.

По условию, периметр равен 30 см, следовательно: $2(a + b) = 30$ $a + b = 15$ см.

Стороны относятся как $2 : 3$. Мы можем представить их как $a = 2x$ и $b = 3x$ для некоторого коэффициента $x$.

Подставим эти выражения в уравнение для полупериметра: $2x + 3x = 15$ $5x = 15$ $x = 3$ см.

Теперь найдем длины сторон параллелограмма: $a = 2x = 2 \cdot 3 = 6$ см. $b = 3x = 3 \cdot 3 = 9$ см.

2. Нахождение углов параллелограмма

Пусть $\alpha$ — острый угол параллелограмма, а $\beta$ — тупой угол. Сумма соседних углов параллелограмма равна $180^\circ$, то есть $\alpha + \beta = 180^\circ$.

Рассмотрим высоты, проведенные из вершины тупого угла к сторонам параллелограмма. Угол между двумя прямыми (в нашем случае, сторонами, образующими острый угол $\alpha$) равен острому углу между перпендикулярами к этим прямым (в нашем случае, высотами).

Таким образом, острый угол между высотами, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу параллелограмма.

По условию, угол между высотами равен $60^\circ$. Следовательно, острый угол параллелограмма $\alpha = 60^\circ$.

Тупой угол параллелограмма будет равен $\beta = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

3. Нахождение площади параллелограмма

Площадь параллелограмма $S$ можно вычислить по формуле произведения двух соседних сторон на синус угла между ними: $S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$

Мы уже определили, что $a = 6$ см, $b = 9$ см, и острый угол между ними $\alpha = 60^\circ$.

Подставляем эти значения в формулу: $S = 6 \cdot 9 \cdot \sin(60^\circ)$

Так как $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем: $S = 54 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 27\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $27\sqrt{3}$ см$^2$.