Номер 6, страница 30 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

6. Сократите дробь $\frac{4n^2 - 9m^2}{9m^2 + 4n^2 + 12mn}.$

6. Для сокращения дроби необходимо разложить на множители её числитель и знаменатель.

Исходная дробь имеет вид:

$ \frac{4n^2 - 9m^2}{9m^2 + 4n^2 + 12mn} $

1. Разложим на множители числитель $4n^2 - 9m^2$. Это выражение представляет собой разность квадратов, так как $4n^2 = (2n)^2$ и $9m^2 = (3m)^2$. Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$4n^2 - 9m^2 = (2n)^2 - (3m)^2 = (2n - 3m)(2n + 3m)$

2. Разложим на множители знаменатель $9m^2 + 4n^2 + 12mn$. Для удобства переставим слагаемые: $9m^2 + 12mn + 4n^2$. Это выражение является полным квадратом суммы. Воспользуемся формулой квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = 3m$ и $b = 2n$:

$(3m)^2 + 2 \cdot (3m) \cdot (2n) + (2n)^2 = (3m + 2n)^2$

3. Подставим полученные выражения обратно в дробь:

$ \frac{(2n - 3m)(2n + 3m)}{(3m + 2n)^2} $

4. Заметим, что $(2n + 3m) = (3m + 2n)$. Теперь мы можем сократить дробь на общий множитель $(3m + 2n)$, при условии, что $3m + 2n \neq 0$:

$ \frac{(2n - 3m)(2n + 3m)}{(3m + 2n)(3m + 2n)} = \frac{2n - 3m}{3m + 2n} $

Ответ: $ \frac{2n - 3m}{2n + 3m} $