Номер 7, страница 30 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

7. Решите систему уравнений

и найдите значение выражения $x_1 \cdot y_1 + x_2 \cdot y_2$, где $(x_1; y_1)$, $(x_2; y_2)$ — решения системы.

Для решения данной системы уравнений воспользуемся методом подстановки. Исходная система:

$$ \begin{cases} x - 4y = 2 \\ xy + 2y = 8 \end{cases} $$

Решение системы уравнений

Из первого уравнения выразим переменную $x$ через $y$:

$x = 2 + 4y$

Теперь подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$(2 + 4y)y + 2y = 8$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение относительно $y$:

$2y + 4y^2 + 2y = 8$

$4y^2 + 4y - 8 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 4:

$y^2 + y - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного значения $y$, используя выражение $x = 2 + 4y$.

При $y_1 = 1$, получаем $x_1 = 2 + 4 \cdot 1 = 2 + 4 = 6$.

Первое решение системы: $(x_1; y_1) = (6; 1)$.

При $y_2 = -2$, получаем $x_2 = 2 + 4 \cdot (-2) = 2 - 8 = -6$.

Второе решение системы: $(x_2; y_2) = (-6; -2)$.

Нахождение значения выражения $x_1 \cdot y_1 + x_2 \cdot y_2$

Теперь, когда у нас есть два решения $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$, мы можем вычислить требуемое выражение.

Подставим найденные значения в выражение:

$x_1 \cdot y_1 + x_2 \cdot y_2 = (6) \cdot (1) + (-6) \cdot (-2)$

Выполним вычисления:

$6 + 12 = 18$

Ответ: 18