Номер 10, страница 31 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. Во время строительных работ на Всебелорусской молодежной стройке в Хатыни двое студентов были определены на подсобные работы. Работая с одной скоростью, они выполнили половину отведенной работы, затем увеличили скорость выполнения работы: один — на $20\%$, а второй — на $16\%$, и вторую половину работы они выполнили на один день раньше запланированного времени. Успеют ли студенты выполнить работу за 14 дней? Ответ обоснуйте.

Для решения задачи примем весь объем работы за 1 условную единицу. Пусть $v$ – первоначальная скорость выполнения работы каждого студента (в единицах работы в день), а $T$ – запланированное количество дней на выполнение всей работы.

Изначально студенты работали вместе с общей скоростью $v + v = 2v$. Согласно плану, они должны были выполнить всю работу за $T$ дней, то есть: $1 = 2v \cdot T$. Отсюда можно выразить запланированное время через скорость: $T = \frac{1}{2v}$.

Первую половину работы (объемом $1/2$) студенты выполнили с первоначальной совместной скоростью $2v$. Время, затраченное на этот этап, составляет: $t_1 = \frac{1/2}{2v} = \frac{1}{4v}$.

Если выразить это время через $T$, используя $T = \frac{1}{2v}$, получим $t_1 = \frac{T}{2}$. Это означает, что первая половина работы была выполнена точно в запланированный для нее срок.

При выполнении второй половины работы (также объемом $1/2$) скорости студентов увеличились.

Скорость первого студента стала: $v_1 = v \cdot (1 + 0.20) = 1.2v$.

Скорость второго студента стала: $v_2 = v \cdot (1 + 0.16) = 1.16v$.

Их новая совместная скорость составила: $v_{новая} = 1.2v + 1.16v = 2.36v$.

Время, затраченное на выполнение второй половины работы с новой скоростью: $t_2 = \frac{1/2}{2.36v} = \frac{1}{4.72v}$.

Выразим это время также через $T$. Зная, что $\frac{1}{v} = 2T$, подставим это в выражение для $t_2$: $t_2 = \frac{1}{4.72} \cdot \frac{1}{v} = \frac{2T}{4.72} = \frac{T}{2.36}$.

Общее фактическое время, затраченное на всю работу, равно сумме времен двух этапов: $T_{факт} = t_1 + t_2$. По условию, работа была выполнена на 1 день раньше запланированного времени $T$. Следовательно, $T_{факт} = T - 1$.

Составим уравнение: $t_1 + t_2 = T - 1$ $\frac{T}{2} + \frac{T}{2.36} = T - 1$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти запланированное время $T$: $1 = T - \frac{T}{2} - \frac{T}{2.36}$ $1 = \frac{T}{2} - \frac{T}{2.36}$ $1 = T \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2.36} \right)$ $1 = T \left( \frac{2.36 - 2}{2 \cdot 2.36} \right)$ $1 = T \left( \frac{0.36}{4.72} \right)$ $T = \frac{4.72}{0.36} = \frac{472}{36} = \frac{118}{9} = 13 \frac{1}{9}$ дня.

Мы нашли запланированное время. Фактическое время, за которое студенты выполнили всю работу, на 1 день меньше: $T_{факт} = T - 1 = 13 \frac{1}{9} - 1 = 12 \frac{1}{9}$ дня.

Вопрос задачи: "Успеют ли студенты выполнить работу за 14 дней?".

Для ответа сравним фактическое время выполнения работы с 14 днями: $12 \frac{1}{9} \text{ дня} < 14 \text{ дней}$.

Поскольку фактическое время оказалось меньше 14 дней, студенты успеют (и уже успели) выполнить работу в этот срок.

Ответ: Да, успеют. Фактически они выполнили всю работу за $12 \frac{1}{9}$ дня, что меньше 14 дней.