Номер 6, страница 32 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

6. Сократите дробь $\frac{25m^2 - 4n^2}{4n^2 + 25m^2 + 20mn}$.

6.

Для того чтобы сократить дробь $\frac{25m^2 - 4n^2}{4n^2 + 25m^2 + 20mn}$, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.

Сначала рассмотрим числитель: $25m^2 - 4n^2$. Это выражение является разностью квадратов, так как $25m^2 = (5m)^2$ и $4n^2 = (2n)^2$. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В нашем случае $a = 5m$ и $b = 2n$, поэтому числитель раскладывается на множители следующим образом:

$25m^2 - 4n^2 = (5m - 2n)(5m + 2n)$

Теперь рассмотрим знаменатель: $4n^2 + 25m^2 + 20mn$. Переставим слагаемые для удобства, чтобы получить стандартный вид трехчлена: $25m^2 + 20mn + 4n^2$.

Это выражение является полным квадратом суммы. Проверим это, используя формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Пусть $a^2 = 25m^2$, тогда $a = 5m$. Пусть $b^2 = 4n^2$, тогда $b = 2n$.

Найдем удвоенное произведение $2ab$: $2 \cdot 5m \cdot 2n = 20mn$. Это совпадает со средним членом в знаменателе.

Следовательно, знаменатель можно свернуть в квадрат суммы:

$25m^2 + 20mn + 4n^2 = (5m + 2n)^2$

Теперь подставим разложенные на множители числитель и знаменатель обратно в исходную дробь:

$\frac{(5m - 2n)(5m + 2n)}{(5m + 2n)^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(5m + 2n)$, при условии что $5m + 2n \neq 0$.

$\frac{(5m - 2n)\cancel{(5m + 2n)}}{\cancel{(5m + 2n)}(5m + 2n)} = \frac{5m - 2n}{5m + 2n}$

Ответ: $\frac{5m - 2n}{5m + 2n}$