Номер 8, страница 33 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

8. Найдите значение выражения $ \sqrt{19 - 6\sqrt{10}} + \sqrt{26 - 8\sqrt{10}} $.

В ответ запишите число, противоположное полученн^Ому.

Для решения данной задачи необходимо упростить подкоренные выражения, представив их в виде полного квадрата разности. Воспользуемся формулой $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $.

Упростим первое слагаемое: $ \sqrt{19 - 6\sqrt{10}} $.

Представим $ 6\sqrt{10} $ в виде удвоенного произведения $ 2ab $: $ 6\sqrt{10} = 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{10} $. Попробуем взять в качестве $ a $ и $ b $ числа $ 3 $ и $ \sqrt{10} $.

Проверим, выполняется ли равенство $ a^2 + b^2 = 19 $: $ 3^2 + (\sqrt{10})^2 = 9 + 10 = 19 $.

Равенство выполняется, следовательно, подкоренное выражение можно свернуть в полный квадрат: $ 19 - 6\sqrt{10} = (3 - \sqrt{10})^2 $ или $ (\sqrt{10} - 3)^2 $.

Тогда $ \sqrt{19 - 6\sqrt{10}} = \sqrt{(3 - \sqrt{10})^2} = |3 - \sqrt{10}| $.

Так как $ 3 = \sqrt{9} $, а $ \sqrt{9} < \sqrt{10} $, то разность $ 3 - \sqrt{10} $ отрицательна. Модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу, поэтому: $ |3 - \sqrt{10}| = -(3 - \sqrt{10}) = \sqrt{10} - 3 $.

Упростим второе слагаемое: $ \sqrt{26 - 8\sqrt{10}} $.

Представим $ 8\sqrt{10} $ в виде $ 2ab $: $ 8\sqrt{10} = 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{10} $. Возьмем в качестве $ a $ и $ b $ числа $ 4 $ и $ \sqrt{10} $.

Проверим, выполняется ли равенство $ a^2 + b^2 = 26 $: $ 4^2 + (\sqrt{10})^2 = 16 + 10 = 26 $.

Равенство выполняется. Значит: $ 26 - 8\sqrt{10} = (4 - \sqrt{10})^2 $.

Тогда $ \sqrt{26 - 8\sqrt{10}} = \sqrt{(4 - \sqrt{10})^2} = |4 - \sqrt{10}| $.

Так как $ 4 = \sqrt{16} $, а $ \sqrt{16} > \sqrt{10} $, то разность $ 4 - \sqrt{10} $ положительна. Модуль положительного числа равен самому числу: $ |4 - \sqrt{10}| = 4 - \sqrt{10} $.

Теперь найдем значение всего выражения, подставив упрощенные слагаемые:

$ \sqrt{19 - 6\sqrt{10}} + \sqrt{26 - 8\sqrt{10}} = (\sqrt{10} - 3) + (4 - \sqrt{10}) = \sqrt{10} - 3 + 4 - \sqrt{10} = 1 $.

Значение выражения равно $ 1 $.

По условию задачи, в ответ нужно записать число, противоположное полученному. Противоположным числу $ 1 $ является число $ -1 $.

Ответ: -1