Номер 5, страница 34 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

5. Четырехугольник ABCD вписан в окружность, P — точка пересечения его диагоналей, $\angle ADB = 72^\circ$, $\angle CBD = 64^\circ$.

Найдите $\angle APB$.

5. Рассмотрим треугольник $APD$, где $P$ — точка пересечения диагоналей. Угол $\angle APB$ является внешним углом для треугольника $APD$ при вершине $P$. По свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle APB = \angle PAD + \angle PDA$.

Угол $\angle PDA$ — это заданный в условии угол $\angle ADB$, поэтому $\angle PDA = 72^\circ$.

Поскольку четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность, вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Углы $\angle PAD$ (тот же самый, что и $\angle CAD$) и $\angle CBD$ оба опираются на дугу $CD$. Следовательно, $\angle PAD = \angle CBD$. По условию $\angle CBD = 64^\circ$, значит $\angle PAD = 64^\circ$.

Теперь можем найти искомый угол, подставив найденные значения в равенство: $\angle APB = \angle PAD + \angle PDA = 64^\circ + 72^\circ = 136^\circ$.

Ответ: $136^\circ$.