Номер 9, страница 35 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. Найдите разность наибольшего и наименьшего целых решений двойного неравенства $16 - 6x < x^2 \leq 24 - 10x$.

Данное двойное неравенство $16 - 6x < x^2 \le 24 - 10x$ равносильно системе из двух неравенств:

$\begin{cases} 16 - 6x < x^2 \\ x^2 \le 24 - 10x \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1. Решение первого неравенства

Рассмотрим первое неравенство $16 - 6x < x^2$.

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного неравенства:

$0 < x^2 + 6x - 16$

Для решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 6x - 16 = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -6$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -16$

Подбором находим корни: $x_1 = -8$ и $x_2 = 2$.

Функция $y = x^2 + 6x - 16$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Следовательно, выражение $x^2 + 6x - 16$ принимает положительные значения вне интервала между корнями.

Решением неравенства $x^2 + 6x - 16 > 0$ является объединение интервалов: $x \in (-\infty; -8) \cup (2; \infty)$.

2. Решение второго неравенства

Рассмотрим второе неравенство $x^2 \le 24 - 10x$.

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + 10x - 24 \le 0$

Для решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 10x - 24 = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -10$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -24$

Подбором находим корни: $x_1 = -12$ и $x_2 = 2$.

Функция $y = x^2 + 10x - 24$ также является параболой с ветвями вверх. Следовательно, выражение $x^2 + 10x - 24$ принимает неположительные значения (меньше или равно нулю) на отрезке между корнями, включая сами корни.

Решением неравенства $x^2 + 10x - 24 \le 0$ является отрезок: $x \in [-12; 2]$.

3. Нахождение общего решения системы

Теперь необходимо найти пересечение (общую часть) решений обоих неравенств:

$x \in \left( (-\infty; -8) \cup (2; \infty) \right) \cap [-12; 2]$

Рассмотрим пересечение по частям:

а) Пересечение $(-\infty; -8)$ и $[-12; 2]$ дает полуинтервал $[-12; -8)$.

б) Пересечение $(2; \infty)$ и $[-12; 2]$ является пустым множеством, так как у них нет общих точек (точка $x=2$ не включена в интервал $(2; \infty)$).

Таким образом, решением исходного двойного неравенства является полуинтервал $x \in [-12; -8)$.

4. Определение разности

Нам нужно найти разность наибольшего и наименьшего целых решений. Выпишем все целые числа из промежутка $[-12; -8)$:

$-12, -11, -10, -9$.

Наименьшее целое решение: $x_{наим} = -12$.

Наибольшее целое решение: $x_{наиб} = -9$.

Найдем их разность:

$x_{наиб} - x_{наим} = -9 - (-12) = -9 + 12 = 3$.

Ответ: 3.