Номер 5, страница 36 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

5. Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность, $P$ — точка пересечения диагоналей, $\angle ACB = 48^{\circ}$, $\angle CAD = 54^{\circ}$. Найдите $\angle CPD$.

Поскольку четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность, вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

1. Углы $∠CAD$ и $∠CBD$ (он же $∠PBD$) опираются на одну и ту же дугу $CD$. Следовательно, они равны. По условию $∠CAD = 54°$, значит: $∠CBD = ∠CAD = 54°$

2. Углы $∠ACB$ (он же $∠PCB$) и $∠ADB$ (он же $∠PDA$) опираются на одну и ту же дугу $AB$. Следовательно, они тоже равны. По условию $∠ACB = 48°$, значит: $∠ADB = ∠ACB = 48°$

3. Теперь рассмотрим треугольник $APD$. Сумма углов в треугольнике равна $180°$. Угол $∠APD$ можно найти, зная два других угла этого треугольника: $∠PAD$ (это $∠CAD$) и $∠PDA$ (это $∠ADB$). $∠APD = 180° - (∠PAD + ∠PDA)$ $∠APD = 180° - (54° + 48°) = 180° - 102° = 78°$

4. Углы $∠CPD$ и $∠APD$ являются смежными, так как точки $A$, $P$, $C$ лежат на одной прямой (диагонали $AC$). Сумма смежных углов равна $180°$. $∠CPD + ∠APD = 180°$ $∠CPD = 180° - ∠APD = 180° - 78° = 102°$

Альтернативное решение (через внешний угол треугольника):

Рассмотрим треугольник $BPC$. Угол $∠CPD$ является внешним для этого треугольника при вершине $P$. Величина внешнего угла треугольника равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. $∠CPD = ∠PBC + ∠PCB$

Как мы уже выяснили, $∠PBC = ∠CAD = 54°$ и $∠PCB = ∠ACB = 48°$. $∠CPD = 54° + 48° = 102°$

Ответ: 102°.