Номер 9, страница 37 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. Найдите разность наибольшего и наименьшего целых решений двойного неравенства $x+6 \le x^2 < 24-5x$.

Данное двойное неравенство $x + 6 \le x^2 < 24 - 5x$ представляет собой систему из двух неравенств, которые должны выполняться одновременно:

$ \begin{cases} x^2 \ge x + 6 \\ x^2 < 24 - 5x \end{cases} $

Решим каждое неравенство по отдельности.

Сначала решим первое неравенство: $x^2 \ge x + 6$.
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$x^2 - x - 6 \ge 0$.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x - 6 = 0$.
Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.
Графиком функции $y = x^2 - x - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции неотрицательны ($ \ge 0 $) на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.
Следовательно, решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -2] \cup [3, +\infty)$.

Теперь решим второе неравенство: $x^2 < 24 - 5x$.
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$x^2 + 5x - 24 < 0$.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 5x - 24 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121 = 11^2$.
Корни уравнения равны:
$x_1 = \frac{-5 - 11}{2} = -8$
$x_2 = \frac{-5 + 11}{2} = 3$
Графиком функции $y = x^2 + 5x - 24$ также является парабола с ветвями вверх. Значения функции отрицательны ($ < 0 $) на промежутке между корнями.
Следовательно, решение второго неравенства: $x \in (-8, 3)$.

Общим решением исходного двойного неравенства является пересечение решений двух неравенств:
$((-\infty, -2] \cup [3, +\infty)) \cap (-8, 3)$.
Это пересечение соответствует промежутку $x \in (-8, -2]$.

В задаче требуется найти целые решения. Целые числа, входящие в промежуток $(-8, -2]$:
-7, -6, -5, -4, -3, -2.

Наименьшее целое решение из этого набора — это -7.
Наибольшее целое решение — это -2.

Найдем разность наибольшего и наименьшего целых решений:
$-2 - (-7) = -2 + 7 = 5$.

Ответ: 5