Номер 10, страница 37 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. Точка $M$ — середина стороны $BC$ параллелограмма $ABCD$ с площадью $240 \text{ см}^2$. Отрезок $AM$ пересекает диагональ $BD$ в точке $F$. Найдите площадь четырехугольника $FMCD$.

Пусть $S_{ABCD}$ — площадь параллелограмма $ABCD$. По условию $S_{ABCD} = 240$ см².

1. Рассмотрение подобных треугольников.

Рассмотрим треугольники $\triangle FBM$ и $\triangle FDA$.

Так как $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны, то есть $BC \parallel AD$.

Углы $\angle FBM$ и $\angle FDA$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD$, следовательно, $\angle FBM = \angle FDA$.

Аналогично, углы $\angle BMF$ и $\angle DAF$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AM$, следовательно, $\angle BMF = \angle DAF$.

Таким образом, треугольники $\triangle FBM$ и $\triangle FDA$ подобны по двум углам.

2. Нахождение коэффициента подобия и отношения отрезков.

По условию, точка $M$ — середина стороны $BC$, значит $BM = \frac{1}{2} BC$.

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $AD = BC$.

Отсюда следует, что $BM = \frac{1}{2} AD$.

Коэффициент подобия $k$ треугольников $\triangle FBM$ и $\triangle FDA$ равен отношению их соответственных сторон: $k = \frac{BM}{AD} = \frac{\frac{1}{2} AD}{AD} = \frac{1}{2}$.

Отношение других соответственных сторон также равно коэффициенту подобия: $\frac{BF}{FD} = \frac{1}{2}$.

Это означает, что точка $F$ делит диагональ $BD$ в отношении $BF:FD = 1:2$.

3. Вычисление площади четырехугольника FMCD.

Площадь четырехугольника $FMCD$ можно найти как сумму площадей треугольников $\triangle FMC$ и $\triangle FDC$: $S_{FMCD} = S_{FMC} + S_{FDC}$.

Диагональ $BD$ делит параллелограмм $ABCD$ на два равновеликих треугольника, поэтому площадь треугольника $BCD$ равна: $S_{BCD} = \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{2} \times 240 = 120$ см².

Рассмотрим треугольник $BCD$. Его площадь равна сумме площадей треугольников $FBC$ и $FDC$: $S_{BCD} = S_{FBC} + S_{FDC}$.

Эти два треугольника ($\triangle FBC$ и $\triangle FDC$) имеют общую высоту, проведенную из вершины $C$ к стороне $BD$. Следовательно, их площади относятся как длины их оснований $BF$ и $FD$: $\frac{S_{FBC}}{S_{FDC}} = \frac{BF}{FD} = \frac{1}{2}$.

Из этого соотношения получаем $S_{FDC} = 2 \cdot S_{FBC}$.

Подставим это в формулу для площади $\triangle BCD$: $S_{FBC} + 2 \cdot S_{FBC} = 120$ $3 \cdot S_{FBC} = 120$ $S_{FBC} = 40$ см².

Тогда $S_{FDC} = 2 \cdot 40 = 80$ см².

Теперь рассмотрим треугольник $FBC$. Отрезок $FM$ является его медианой, так как точка $M$ — середина стороны $BC$. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника: $S_{FMC} = S_{FBM} = \frac{1}{2} S_{FBC} = \frac{1}{2} \times 40 = 20$ см².

Наконец, находим площадь искомого четырехугольника: $S_{FMCD} = S_{FMC} + S_{FDC} = 20 + 80 = 100$ см².

Ответ: 100 см².