Номер 7, страница 36 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

7. Найдите все значения переменной, при которых значение выражения $ \frac{x+2}{x+3} + \frac{2x}{x^2-9} $ равно нулю.

Для того чтобы найти значения переменной, при которых значение выражения равно нулю, необходимо приравнять данное выражение к нулю и решить полученное уравнение:

$\frac{x+2}{x+3} + \frac{2x}{x^2-9} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Вначале найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Значения $x$, при которых знаменатели дробей обращаются в ноль, должны быть исключены.

1) $x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$

2) $x^2-9 \neq 0$. Разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов: $(x-3)(x+3) \neq 0$. Отсюда следует, что $x \neq 3$ и $x \neq -3$.

Таким образом, область допустимых значений: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.

Теперь преобразуем левую часть уравнения, приведя дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен $x^2-9 = (x-3)(x+3)$. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на множитель $(x-3)$:

$\frac{(x+2)(x-3)}{(x+3)(x-3)} + \frac{2x}{(x-3)(x+3)} = 0$

Сложим дроби, объединив их числители:

$\frac{(x+2)(x-3) + 2x}{x^2-9} = 0$

Теперь приравняем числитель к нулю (с учетом ОДЗ):

$(x+2)(x-3) + 2x = 0$

Раскроем скобки, используя правило умножения многочленов:

$x^2 - 3x + 2x - 6 + 2x = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 + (-3+2+2)x - 6 = 0$

$x^2 + x - 6 = 0$

Получили приведенное квадратное уравнение. Решим его по теореме Виета. Сумма корней равна коэффициенту при $x$ с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

$x_1 + x_2 = -1$

$x_1 \cdot x_2 = -6$

Подбором находим корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.

Теперь необходимо сопоставить полученные корни с областью допустимых значений.

Корень $x_1 = -3$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $x=-3$ знаменатели исходного выражения обращаются в ноль. Следовательно, $x=-3$ — посторонний корень.

Корень $x_2 = 2$ удовлетворяет ОДЗ ($2 \neq 3$ и $2 \neq -3$), поэтому он является решением уравнения.

Следовательно, единственное значение переменной, при котором исходное выражение равно нулю, это $x=2$.

Ответ: $2$