Номер 10, страница 35 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. Точка $M$ — середина стороны $CD$ параллелограмма $ABCD$ с площадью $360 \, \text{см}^2$. Отрезок $BM$ пересекает диагональ $AC$ в точке $F$. Найдите площадь четырехугольника $AFMD$.

Площадь искомого четырехугольника $AFMD$ можно найти как сумму площадей треугольников $\triangle ADM$ и $\triangle AFM$: $S_{AFMD} = S_{\triangle ADM} + S_{\triangle AFM}$.

1. Найдем площадь треугольника $\triangle ADM$.

Пусть $h$ – высота параллелограмма $ABCD$, проведенная к стороне $CD$. Площадь параллелограмма равна $S_{ABCD} = CD \cdot h = 360 \text{ см}^2$.

По условию, точка $M$ – середина стороны $CD$, следовательно, основание треугольника $\triangle ADM$ равно $MD = \frac{1}{2} CD$. Высота этого треугольника, проведенная из вершины $A$ к прямой $CD$, совпадает с высотой параллелограмма $h$.

Таким образом, площадь треугольника $\triangle ADM$ составляет: $S_{\triangle ADM} = \frac{1}{2} \cdot MD \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2} CD) \cdot h = \frac{1}{4} (CD \cdot h) = \frac{1}{4} S_{ABCD}$. $S_{\triangle ADM} = \frac{1}{4} \cdot 360 = 90 \text{ см}^2$.

2. Найдем площадь треугольника $\triangle AFM$. Для этого сначала рассмотрим треугольники $\triangle ABF$ и $\triangle CMF$.

Так как $ABCD$ – параллелограмм, его противоположные стороны параллельны: $AB \parallel CD$. Поскольку точка $M$ лежит на отрезке $CD$, то $AB \parallel CM$.

При пересечении параллельных прямых $AB$ и $CD$ секущей $AC$ образуются равные накрест лежащие углы: $\angle BAF = \angle MCF$.

При пересечении тех же параллельных прямых секущей $BM$ образуются равные накрест лежащие углы: $\angle ABF = \angle CMF$.

Следовательно, треугольник $\triangle ABF$ подобен треугольнику $\triangle CMF$ ($\triangle ABF \sim \triangle CMF$) по двум углам.

3. Из подобия треугольников следует, что отношение их соответственных сторон равно: $\frac{AF}{CF} = \frac{AB}{CM}$.

В параллелограмме противоположные стороны равны, т.е. $AB = CD$. Так как $M$ – середина $CD$, то $CM = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} AB$.

Подставим это соотношение в отношение сторон: $\frac{AF}{CF} = \frac{AB}{\frac{1}{2} AB} = 2$.

Отсюда получаем, что $AF = 2 \cdot CF$.

4. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle AFM$ и $\triangle CFM$. У них общая вершина $M$, а их основания $AF$ и $CF$ лежат на одной прямой $AC$. Отношение площадей таких треугольников равно отношению длин их оснований: $\frac{S_{\triangle AFM}}{S_{\triangle CFM}} = \frac{AF}{CF} = 2$.

Значит, $S_{\triangle AFM} = 2 \cdot S_{\triangle CFM}$.

5. Площадь треугольника $\triangle ACM$ равна сумме площадей треугольников $\triangle AFM$ и $\triangle CFM$: $S_{\triangle ACM} = S_{\triangle AFM} + S_{\triangle CFM} = S_{\triangle AFM} + \frac{1}{2} S_{\triangle AFM} = \frac{3}{2} S_{\triangle AFM}$.

Найдем площадь $\triangle ACM$. Его основание $CM = \frac{1}{2} CD$, а высота, проведенная из вершины $A$ к прямой $CD$, равна высоте параллелограмма $h$. $S_{\triangle ACM} = \frac{1}{2} \cdot CM \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2} CD) \cdot h = \frac{1}{4} S_{ABCD} = \frac{1}{4} \cdot 360 = 90 \text{ см}^2$.

Теперь из соотношения $S_{\triangle ACM} = \frac{3}{2} S_{\triangle AFM}$ найдем площадь $\triangle AFM$: $S_{\triangle AFM} = \frac{2}{3} S_{\triangle ACM} = \frac{2}{3} \cdot 90 = 60 \text{ см}^2$.

6. Наконец, находим искомую площадь четырехугольника $AFMD$, суммируя площади треугольников $\triangle ADM$ и $\triangle AFM$: $S_{AFMD} = S_{\triangle ADM} + S_{\triangle AFM} = 90 + 60 = 150 \text{ см}^2$.

Ответ: $150 \text{ см}^2$.