Номер 7, страница 34 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

7. Найдите все значения переменной, при которых значение выражения $\frac{x+3}{x+2} - \frac{2x}{x^2-4}$ равно нулю.

Для того чтобы найти все значения переменной, при которых значение выражения равно нулю, необходимо приравнять данное выражение к нулю и решить полученное уравнение.

Исходное выражение: $ \frac{x+3}{x+2} - \frac{2x}{x^2-4} $

Приравниваем выражение к нулю:

$ \frac{x+3}{x+2} - \frac{2x}{x^2-4} = 0 $

Выражение имеет смысл только тогда, когда его знаменатели не равны нулю. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

1. $ x+2 \neq 0 \implies x \neq -2 $

2. $ x^2-4 \neq 0 \implies (x-2)(x+2) \neq 0 \implies x \neq 2 $ и $ x \neq -2 $

Следовательно, ОДЗ: $ x \neq -2 $ и $ x \neq 2 $.

Теперь решим уравнение. Разложим знаменатель второй дроби на множители по формуле разности квадратов $ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $:

$ x^2-4 = (x-2)(x+2) $

Перепишем уравнение:

$ \frac{x+3}{x+2} - \frac{2x}{(x-2)(x+2)} = 0 $

Приведем дроби к общему знаменателю $ (x-2)(x+2) $:

$ \frac{(x+3)(x-2)}{(x-2)(x+2)} - \frac{2x}{(x-2)(x+2)} = 0 $

$ \frac{(x+3)(x-2) - 2x}{(x-2)(x+2)} = 0 $

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Условие для знаменателя мы уже учли в ОДЗ. Приравняем числитель к нулю:

$ (x+3)(x-2) - 2x = 0 $

Раскроем скобки и упростим выражение:

$ x^2 - 2x + 3x - 6 - 2x = 0 $

Приведем подобные слагаемые:

$ x^2 - x - 6 = 0 $

Получили квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта:

$ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 $

Найдем корни уравнения:

$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1+5}{2} = \frac{6}{2} = 3 $

$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1-5}{2} = \frac{-4}{2} = -2 $

Теперь необходимо проверить, входят ли полученные корни в область допустимых значений (ОДЗ: $ x \neq -2 $ и $ x \neq 2 $).

Корень $ x_1 = 3 $ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $ x_2 = -2 $ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатели исходных дробей обращаются в ноль. Следовательно, $ x = -2 $ является посторонним корнем.

Таким образом, единственным значением переменной, при котором выражение равно нулю, является 3.

Ответ: 3