Номер 10, страница 33 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. Во время строительных работ на Всебелорусской молодежной стройке в Брестской крепости двое студентов были определены на подсобные работы. Работая с одной скоростью, они выполнили половину отведенной работы, затем увеличили скорость выполнения: один — на 25 %, а второй — на 30 %, и вторую половину работы они выполнили на один день раньше запланированного времени. Успеют ли студенты выполнить работу за 7 дней? Ответ обоснуйте.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $W$ – это весь объем подсобных работ, а $v$ – первоначальная производительность (скорость работы) одного студента в день.

Изначально студенты работали вместе с одинаковой скоростью. Их общая производительность была $v + v = 2v$.

Первую половину работы, то есть объем $W/2$, они выполнили за время $t_1 = \frac{W/2}{2v} = \frac{W}{4v}$.

Если бы они продолжали работать с той же скоростью, то на вторую половину работы ($W/2$) они бы также затратили время $\frac{W}{4v}$. Это и есть "запланированное время" для второй половины работы.

Однако студенты увеличили свою производительность. Скорость первого студента стала $v_1 = v + 0.25v = 1.25v$. Скорость второго студента стала $v_2 = v + 0.30v = 1.30v$.

Их новая совместная производительность составила $v_{новая} = 1.25v + 1.30v = 2.55v$.

Вторую половину работы ($W/2$) они выполнили за время $t_2 = \frac{W/2}{2.55v} = \frac{W}{5.1v}$.

По условию, вторую половину работы они выполнили на 1 день раньше запланированного времени. Это значит, что разница между запланированным временем на вторую половину и фактическим временем составляет 1 день. Составим уравнение:

$\frac{W}{4v} - \frac{W}{5.1v} = 1$

Вынесем общий множитель $\frac{W}{v}$ за скобки:

$\frac{W}{v} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{5.1} \right) = 1$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$\frac{W}{v} \left( \frac{5.1 - 4}{4 \cdot 5.1} \right) = 1$

$\frac{W}{v} \left( \frac{1.1}{20.4} \right) = 1$

Отсюда находим значение выражения $\frac{W}{v}$:

$\frac{W}{v} = \frac{20.4}{1.1} = \frac{204}{11}$

Теперь найдем общее время $T$, которое студенты затратили на выполнение всей работы. Оно равно сумме времени, затраченного на первую и вторую половины работы: $T = t_1 + t_2$.

$t_1 = \frac{W}{4v} = \frac{1}{4} \cdot \frac{W}{v} = \frac{1}{4} \cdot \frac{204}{11} = \frac{51}{11}$ дней.

$t_2 = \frac{W}{5.1v} = \frac{1}{5.1} \cdot \frac{W}{v} = \frac{1}{5.1} \cdot \frac{204}{11} = \frac{10}{51} \cdot \frac{204}{11} = \frac{10 \cdot 4}{11} = \frac{40}{11}$ дней.

$T = \frac{51}{11} + \frac{40}{11} = \frac{91}{11}$ дней.

Чтобы ответить на вопрос задачи, сравним полученное время с 7 днями.

$T = \frac{91}{11} = 8 \frac{3}{11}$ дней.

Так как $8 \frac{3}{11} > 7$, студенты не успеют выполнить всю работу за 7 дней.

Ответ: Нет, студенты не успеют выполнить работу за 7 дней. На выполнение всей работы им потребуется $8 \frac{3}{11}$ дня, что больше 7 дней.