Номер 9, страница 33 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. Периметр параллелограмма равен 32 см, соседние стороны относятся как $3 : 5$. Угол между высотами, проведенными к соседним сторонам из вершины тупого угла параллелограмма, равен $30^\circ$. Найдите площадь параллелограмма.

Нахождение сторон параллелограмма
Периметр параллелограмма вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ — длины соседних сторон.

По условию, периметр равен 32 см. Следовательно, сумма длин соседних сторон равна:
$a + b = P / 2 = 32 / 2 = 16$ см.
Соседние стороны относятся как 3 : 5. Обозначим одну часть за $x$. Тогда длины сторон можно записать как $a = 3x$ и $b = 5x$.

Подставим эти выражения в уравнение для суммы сторон:
$3x + 5x = 16$
$8x = 16$
$x = 2$ см.
Теперь найдем длины сторон:
$a = 3 \cdot 2 = 6$ см.
$b = 5 \cdot 2 = 10$ см.
Ответ: стороны параллелограмма равны 6 см и 10 см.

Нахождение углов параллелограмма
Пусть $ABCD$ — наш параллелограмм, где $\angle B$ и $\angle D$ — тупые углы, а $\angle A$ и $\angle C$ — острые. Обозначим острый угол как $\alpha$, а тупой — как $\beta$. Сумма соседних углов параллелограмма равна $180^\circ$, то есть $\alpha + \beta = 180^\circ$.
Из вершины тупого угла $B$ проведены высоты $BH_1$ к стороне $AD$ и $BH_2$ к стороне $CD$. По условию, угол между этими высотами $\angle H_1BH_2 = 30^\circ$.
Рассмотрим четырехугольник $H_1BDH_2$. В нем $\angle BH_1D = 90^\circ$ и $\angle BH_2D = 90^\circ$, так как $BH_1$ и $BH_2$ — высоты. Угол $\angle D$ этого четырехугольника является тупым углом параллелограмма, то есть $\angle D = \beta$.
Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$. Для четырехугольника $H_1BDH_2$ имеем:
$\angle H_1BH_2 + \angle BH_1D + \angle D + \angle BH_2D = 360^\circ$
$30^\circ + 90^\circ + \beta + 90^\circ = 360^\circ$
$210^\circ + \beta = 360^\circ$
$\beta = 360^\circ - 210^\circ = 150^\circ$.
Таким образом, тупой угол параллелограмма равен $150^\circ$.
Острый угол $\alpha$ равен:
$\alpha = 180^\circ - \beta = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.
(Примечание: угол между высотами, проведенными из вершины тупого угла, всегда равен острому углу параллелограмма).
Ответ: острый угол параллелограмма равен $30^\circ$, тупой — $150^\circ$.

Нахождение площади параллелограмма
Площадь параллелограмма можно найти по формуле $S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$, где $a$ и $b$ — соседние стороны, а $\alpha$ — угол между ними.
Из предыдущих пунктов мы знаем:
$a = 6$ см
$b = 10$ см
$\alpha = 30^\circ$
Подставим значения в формулу:
$S = 6 \cdot 10 \cdot \sin(30^\circ)$
Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:
$S = 60 \cdot \frac{1}{2} = 30$ см$^2$.
Ответ: 30 см$^2$.