Номер 1, страница 34 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

1. Определите, какое из следующих множеств может быть областью определения четной функции:

a) $ (-7; 7] $

б) $ [-9; -1) \cup (-1; 9] $

в) $ [-10; 10] $

г) $ [-8; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; 8) $

д) $ [-11; -11) $

Функция $f(x)$ называется четной, если для любого $x$ из ее области определения $D(f)$ выполняются два условия:

1. Область определения $D(f)$ симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Для любого $x \in D(f)$ выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Для решения задачи необходимо проверить, какое из предложенных множеств является симметричным относительно нуля, то есть удовлетворяет первому условию.

а) $(-7; 7]$

Это множество является полуинтервалом. Проверим его на симметричность. Число $7$ принадлежит этому множеству ($7 \in (-7; 7]$), так как правая граница включена. Однако, противоположное ему число $-7$ не принадлежит этому множеству ($-7 \notin (-7; 7]$), так как левая граница не включена. Поскольку для элемента $x=7$ его противоположность $-x=-7$ не входит в множество, оно не является симметричным.
Ответ: не может быть областью определения четной функции.

б) $[-9; -1) \cup (-1; 9]$

Рассмотрим это объединение интервалов. Возьмем число $x=1$. Оно принадлежит множеству, так как $1 \in (-1; 9]$. Противоположное ему число $-x=-1$. Число $-1$ не принадлежит множеству, так как оно исключено из обоих интервалов: $[-9; -1)$ и $(-1; 9]$. Так как нашлось число $x=1$, для которого $-x=-1$ не принадлежит множеству, оно не является симметричным.
Ответ: не может быть областью определения четной функции.

в) $[-10; 10]$

Это множество является отрезком, симметричным относительно нуля. Для любого числа $x$ из этого отрезка выполняется неравенство $-10 \le x \le 10$. Умножив все части неравенства на $-1$ и поменяв знаки неравенства, получим $10 \ge -x \ge -10$, что равносильно $-10 \le -x \le 10$. Это означает, что если $x$ принадлежит отрезку, то и $-x$ также ему принадлежит. Множество является симметричным.
Ответ: может быть областью определения четной функции.

г) $[-8; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; 8)$

Рассмотрим это множество. Число $-8$ принадлежит ему, так как $-8 \in [-8; -1)$. Однако противоположное число $8$ не принадлежит множеству, так как интервал $(1; 8)$ является открытым справа. Поскольку для $x=-8$ его противоположность $-x=8$ не входит в множество, оно не является симметричным.
Ответ: не может быть областью определения четной функции.

д) $[-11; -11)$

Данная запись означает множество всех чисел $x$, для которых выполняется двойное неравенство $-11 \le x < -11$. Не существует ни одного числа, которое было бы одновременно больше или равно $-11$ и строго меньше $-11$. Следовательно, это пустое множество $\emptyset$. Условие симметричности для пустого множества ("для любого $x \in \emptyset$ верно, что $-x \in \emptyset$") является истинным (так называемая истинность в силу пустоты). Таким образом, пустое множество является симметричным. Однако, в контексте подобных задач, обычно подразумевается нетривиальный (непустой) пример.
Ответ: может быть областью определения четной функции (как тривиальный случай пустого множества).