Номер 7, страница 32 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

7. Решите систему уравнений

$\begin{cases} x - 3y = 4, \\ xy - 7y = 6 \end{cases}$ и найдите значение выражения $x_1 \cdot y_1 + x_2 \cdot y_2$, где $(x_1; y_1)$, $(x_2; y_2)$ — решения системы.

Решите систему уравнений

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x - 3y = 4, \\ xy - 7y = 6 \end{cases} $

Для решения системы воспользуемся методом подстановки. Выразим переменную x из первого уравнения:

$x = 4 + 3y$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(4 + 3y)y - 7y = 6$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение относительно y:

$4y + 3y^2 - 7y - 6 = 0$

$3y^2 - 3y - 6 = 0$

Для удобства разделим все члены уравнения на 3:

$y^2 - y - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$

Найдем корни уравнения для y:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Теперь найдем соответствующие значения x для каждого корня y, используя формулу $x = 4 + 3y$.

Для $y_1 = 2$:

$x_1 = 4 + 3 \cdot 2 = 4 + 6 = 10$

Первое решение системы: $(10; 2)$.

Для $y_2 = -1$:

$x_2 = 4 + 3 \cdot (-1) = 4 - 3 = 1$

Второе решение системы: $(1; -1)$.

Ответ: $(10; 2)$, $(1; -1)$.

Найдите значение выражения $x_1 \cdot y_1 + x_2 \cdot y_2$, где $(x_1; y_1)$, $(x_2; y_2)$ — решения системы

Мы нашли два решения системы: $(x_1; y_1) = (10; 2)$ и $(x_2; y_2) = (1; -1)$.

Теперь необходимо вычислить значение выражения $x_1 \cdot y_1 + x_2 \cdot y_2$. Подставим найденные значения:

$x_1 \cdot y_1 + x_2 \cdot y_2 = 10 \cdot 2 + 1 \cdot (-1)$

Выполним вычисления:

$20 + (-1) = 19$

Ответ: 19.