Номер 5, страница 32 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

5. Диагональ $BD$ ромба $ABCD$ равна 24 см. Угол между стороной $AB$ и диагональю $AC$ равен $30^{\circ}$. Найдите периметр ромба.

Пусть дан ромб $ABCD$. Диагонали ромба $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По условию задачи, диагональ $BD = 24$ см, а угол между стороной $AB$ и диагональю $AC$ равен $30^{\circ}$, то есть $\angle BAO = 30^{\circ}$.

Воспользуемся свойствами ромба:
1. Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам.
2. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Из первого свойства следует, что отрезок $BO$ равен половине диагонали $BD$:
$BO = \frac{BD}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Из второго свойства следует, что треугольник $AOB$ является прямоугольным, так как $\angle AOB = 90^{\circ}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOB$. В этом треугольнике гипотенузой является сторона ромба $AB$, а катетами – половины диагоналей $AO$ и $BO$. Нам известны катет $BO = 12$ см и противолежащий ему угол $\angle BAO = 30^{\circ}$.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы. Для $\triangle AOB$ это означает:
$BO = \frac{1}{2}AB$

Отсюда мы можем найти длину стороны ромба $AB$:
$AB = 2 \cdot BO = 2 \cdot 12 = 24$ см.

Периметр ромба ($P$) — это сумма длин всех его четырех равных сторон. Периметр вычисляется по формуле $P = 4a$, где $a$ — длина стороны.
$P = 4 \cdot AB = 4 \cdot 24 = 96$ см.

Ответ: 96 см.