Номер 8, страница 35 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

8. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, в частном получим 7, а в остатке — 6. Если число, составленное из тех же цифр, но в обратном порядке, разделить на произведение цифр, то в частном получим 1, а в остатке — 14. Найдите это число.

Пусть искомое двузначное число имеет вид $10a + b$, где $a$ — это цифра десятков ($a \in \{1, ..., 9\}$), а $b$ — цифра единиц ($b \in \{0, ..., 9\}$).

Согласно первому условию, при делении числа $10a+b$ на сумму его цифр $a+b$ в частном получается 7, а в остатке 6. Это можно записать как уравнение: $10a + b = 7(a + b) + 6$. Также необходимо, чтобы остаток был меньше делителя: $6 < a+b$. Упростим уравнение: $10a + b = 7a + 7b + 6$ $3a = 6b + 6$ $a = 2b + 2$.

Согласно второму условию, при делении числа с переставленными цифрами, $10b+a$, на произведение цифр $a \cdot b$, в частном получается 1, а в остатке 14. Это даёт нам второе уравнение: $10b + a = a \cdot b + 14$. Остаток также должен быть меньше делителя: $14 < a \cdot b$.

Для нахождения $a$ и $b$ решим систему уравнений: $\begin{cases} a = 2b + 2 \\ 10b + a = ab + 14 \end{cases}$

Подставим выражение для $a$ из первого уравнения во второе: $10b + (2b + 2) = (2b + 2)b + 14$ $12b + 2 = 2b^2 + 2b + 14$ $2b^2 - 10b + 12 = 0$ $b^2 - 5b + 6 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение относительно $b$. Корнями уравнения являются $b_1 = 2$ и $b_2 = 3$, так как $(b-2)(b-3) = 0$.

Рассмотрим первый возможный корень, $b=2$. Тогда $a = 2b+2 = 2(2)+2 = 6$. Получаем число 62. Проверим для него условие $14 < a \cdot b$. Подставляем значения: $14 < 6 \cdot 2$, или $14 < 12$. Это неравенство ложно, поэтому данное решение не подходит.

Рассмотрим второй корень, $b=3$. Тогда $a = 2b+2 = 2(3)+2 = 8$. Получаем число 83. Проверим для него оба условия на остатки. Первое: $6 < a+b \implies 6 < 8+3 \implies 6 < 11$. Верно. Второе: $14 < a \cdot b \implies 14 < 8 \cdot 3 \implies 14 < 24$. Тоже верно. Следовательно, это решение удовлетворяет всем условиям.

Для полной уверенности выполним проверку найденного числа 83. 1. Деление 83 на сумму цифр ($8+3=11$): $83 = 7 \cdot 11 + 6$. Частное 7, остаток 6. Первое условие выполнено. 2. Деление числа 38 на произведение цифр ($8 \cdot 3=24$): $38 = 1 \cdot 24 + 14$. Частное 1, остаток 14. Второе условие выполнено.

Ответ: 83