Номер 1, страница 36 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

1. Определите, какое из следующих множеств НЕ может быть областью определения нечетной функции:

а) $(-\infty; +\infty)$

б) $[-9; 0) \cup (0; 9]$

в) $[-10; 10]$

г) $(-8; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; 8)$

д) $[-11; -11)$

Функция $f(x)$ называется нечетной, если ее область определения $D$ симметрична относительно начала координат и для любого $x \in D$ выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Ключевым свойством области определения $D$ нечетной функции является ее симметричность: если точка $x$ принадлежит области определения, то и противоположная ей точка $-x$ также должна принадлежать этой области. Проверим каждое из предложенных множеств на соответствие этому свойству.

а) $(-\infty; +\infty)$

Это множество всех действительных чисел. Для любого действительного числа $x$, противоположное ему число $-x$ также является действительным. Следовательно, если $x \in (-\infty; +\infty)$, то и $-x \in (-\infty; +\infty)$. Множество симметрично относительно нуля.
Ответ: может быть областью определения нечетной функции.

б) $[-9; 0) \cup (0; 9]$

Данное множество представляет собой отрезок $[-9; 9]$ с выколотой точкой $0$.
Если $x \in (0; 9]$, то $0 < x \le 9$. Отсюда следует, что $-9 \le -x < 0$, то есть $-x \in [-9; 0)$.
Если $x \in [-9; 0)$, то $-9 \le x < 0$. Отсюда следует, что $0 < -x \le 9$, то есть $-x \in (0; 9]$.
Таким образом, для любого элемента множества в нем содержится и противоположный ему элемент. Множество симметрично.
Ответ: может быть областью определения нечетной функции.

в) $[-10; 10]$

Это замкнутый промежуток (отрезок). Если $x \in [-10; 10]$, то $-10 \le x \le 10$. Умножая все части неравенства на $-1$, получаем $10 \ge -x \ge -10$, или $-10 \le -x \le 10$, что означает $-x \in [-10; 10]$. Множество симметрично.
Ответ: может быть областью определения нечетной функции.

г) $(-8; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; 8)$

Это множество представляет собой интервал $(-8; 8)$ с выколотыми точками $-1$ и $1$.
Если $x \in (1; 8)$, то $-x \in (-8; -1)$.
Если $x \in (-1; 1)$, то и $-x \in (-1; 1)$.
Если $x \in (-8; -1)$, то $-x \in (1; 8)$.
Для любого $x$ из данного объединения интервалов, $-x$ также принадлежит этому множеству. Множество симметрично.
Ответ: может быть областью определения нечетной функции.

д) $[-11; 11)$

Это полуинтервал. Проверим его на симметричность.
Рассмотрим точку $x = -11$. Она принадлежит данному множеству, так как левая граница ($-11$) включена, что обозначено квадратной скобкой.
Теперь найдем противоположную точку: $-x = -(-11) = 11$.
Точка $11$ не принадлежит множеству $[-11; 11)$, так как правая граница ($11$) не включена, что обозначено круглой скобкой.
Таким образом, мы нашли элемент $x = -11$ множества, для которого противоположный элемент $-x = 11$ этому множеству не принадлежит. Следовательно, множество не является симметричным относительно нуля.
Ответ: не может быть областью определения нечетной функции.