Номер 8, страница 37 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

8. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, в частном получим 6, а в остатке — 5. Если число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, разделить на произведение цифр, то в частном получим 2, а в остатке — 5. Найдите это число.

Пусть искомое двузначное число имеет вид $\overline{ab}$, где $a$ – цифра десятков, а $b$ – цифра единиц. В алгебраической форме это число можно записать как $10a + b$. При этом $a$ является целым числом от 1 до 9, а $b$ – целым числом от 0 до 9.

Согласно первому условию, если это число разделить на сумму его цифр ($a+b$), то в частном получится 6, а в остатке 5. Это можно записать в виде уравнения, используя формулу деления с остатком (делимое = делитель × частное + остаток): $10a + b = 6(a + b) + 5$.

Важным условием при делении с остатком является то, что остаток всегда меньше делителя, то есть $5 < a + b$.

Упростим полученное уравнение: $10a + b = 6a + 6b + 5$ $10a - 6a = 6b - b + 5$ $4a = 5b + 5$ $4a = 5(b + 1)$

Из этого уравнения видно, что левая часть ($4a$) является произведением, кратным 4, а правая часть ($5(b+1)$) – кратным 5. Поскольку левая и правая части равны, результат должен быть кратен и 4, и 5. Наименьшее общее кратное для 4 и 5 равно 20. Следовательно, $4a$ должно быть кратно 20.

Поскольку $a$ – это цифра от 1 до 9, то $4a$ может принимать значения от $4 \times 1 = 4$ до $4 \times 9 = 36$. Единственное число в этом диапазоне, кратное 20, – это само число 20.

Таким образом, $4a = 20$, откуда находим $a$: $a = 20 / 4 = 5$.

Теперь найдем $b$, подставив значение $a = 5$ в уравнение $4a = 5(b + 1)$: $4 \times 5 = 5(b + 1)$ $20 = 5(b + 1)$ $4 = b + 1$ $b = 3$.

Итак, единственная пара цифр, удовлетворяющая первому условию, – это $a=5$ и $b=3$. Искомое число – 53. Проверим условие на остаток для первой части задачи: $5 < a + b \implies 5 < 5 + 3 \implies 5 < 8$. Условие выполнено.

Теперь проверим второе условие. Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, – это $\overline{ba}$, то есть $10b + a$. Для $a=5$ и $b=3$ это число $10 \times 3 + 5 = 35$. Произведение цифр равно $a \times b = 5 \times 3 = 15$.

Согласно второму условию, если число 35 разделить на 15, в частном получится 2, а в остатке 5. Проверим это: $35 = 15 \times 2 + 5$ $35 = 30 + 5$ $35 = 35$.

Равенство верно. Условие на остаток ($5 < 15$) также выполняется.

Оба условия задачи выполняются, следовательно, искомое число найдено верно.
Ответ: 53