Номер 5, страница 39 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

5. Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность, центр $O$ окружности лежит на стороне $AD$. Найдите угол $CAD$, если угол $ABC$ равен $118^{\circ}$.

Так как четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность, сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. Используя это свойство, найдем угол $ADC$, который является противолежащим для угла $ABC$:
$ \angle ABC + \angle ADC = 180^\circ $
$ 118^\circ + \angle ADC = 180^\circ $
$ \angle ADC = 180^\circ - 118^\circ = 62^\circ $

По условию задачи, центр окружности $O$ лежит на стороне $AD$. Это означает, что отрезок $AD$ является диаметром окружности.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым. В треугольнике $ACD$ угол $ACD$ как раз опирается на диаметр $AD$, следовательно, его величина составляет $90^\circ$.
$ \angle ACD = 90^\circ $

Теперь рассмотрим треугольник $ACD$. Сумма всех углов в треугольнике равна $180^\circ$. Мы знаем величины двух углов в этом треугольнике ($ \angle ACD = 90^\circ $ и $ \angle ADC = 62^\circ $) и можем вычислить искомый угол $CAD$:
$ \angle CAD + \angle ACD + \angle ADC = 180^\circ $
$ \angle CAD + 90^\circ + 62^\circ = 180^\circ $
$ \angle CAD + 152^\circ = 180^\circ $
$ \angle CAD = 180^\circ - 152^\circ = 28^\circ $

Ответ: $28^\circ$.