Номер 10, страница 39 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. В аквапарке «Лебяжий», который расположен в городе Минске, один из бассейнов до максимальной метки можно заполнять через две трубы, причем через первую — на 5 часов дольше, чем через вторую. Заполнение бассейна через обе трубы одновременно продолжается не менее 6 часов. За какое наименьшее количество часов можно заполнить бассейн через первую трубу?

Пусть $t_1$ — время в часах, за которое бассейн заполняется через первую трубу, а $t_2$ — время, за которое он заполняется через вторую трубу.

Согласно условию, первая труба заполняет бассейн на 5 часов дольше, чем вторая. Это можно записать в виде уравнения: $t_1 = t_2 + 5$. Отсюда выразим $t_2$: $t_2 = t_1 - 5$. Поскольку время заполнения $t_2$ должно быть положительным ($t_2>0$), то $t_1 - 5 > 0$, что означает $t_1 > 5$.

Примем весь объем бассейна за 1. Тогда производительность (скорость заполнения) первой трубы составляет $\frac{1}{t_1}$ бассейна в час, а производительность второй трубы — $\frac{1}{t_2}$ бассейна в час.

При одновременной работе двух труб их производительности складываются, и общая производительность равна $\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}$. Время $T$, за которое бассейн заполнится при совместной работе, вычисляется как $T = \frac{1}{\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}}$.

По условию задачи, время заполнения через обе трубы одновременно составляет не менее 6 часов, то есть $T \ge 6$. Составим неравенство: $\frac{1}{\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}} \ge 6$.

Подставим в это неравенство выражение для $t_2$:
$\frac{1}{\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_1 - 5}} \ge 6$

Преобразуем левую часть неравенства:
$\frac{1}{\frac{t_1 - 5 + t_1}{t_1(t_1 - 5)}} \ge 6$
$\frac{t_1(t_1 - 5)}{2t_1 - 5} \ge 6$
$\frac{t_1^2 - 5t_1}{2t_1 - 5} \ge 6$

Поскольку $t_1 > 5$, знаменатель $2t_1 - 5$ является положительным числом. Поэтому можно умножить обе части неравенства на $2t_1 - 5$, сохранив знак неравенства:
$t_1^2 - 5t_1 \ge 6(2t_1 - 5)$
$t_1^2 - 5t_1 \ge 12t_1 - 30$
$t_1^2 - 17t_1 + 30 \ge 0$

Это квадратное неравенство. Найдем корни соответствующего уравнения $t_1^2 - 17t_1 + 30 = 0$.
Используя формулу для корней квадратного уравнения, вычислим дискриминант:
$D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 289 - 120 = 169 = 13^2$.
Корни уравнения:
$t_{1, \text{корень}_1} = \frac{17 - 13}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$t_{1, \text{корень}_2} = \frac{17 + 13}{2} = \frac{30}{2} = 15$

Графиком функции $y = t_1^2 - 17t_1 + 30$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, неравенство $t_1^2 - 17t_1 + 30 \ge 0$ выполняется, когда $t_1 \le 2$ или $t_1 \ge 15$.

Мы должны учесть оба условия, которым удовлетворяет $t_1$: ($t_1 \le 2$ или $t_1 \ge 15$) и ($t_1 > 5$). Пересечением этих множеств является промежуток $t_1 \ge 15$.

Таким образом, наименьшее возможное время заполнения бассейна через первую трубу, удовлетворяющее всем условиям задачи, равно 15 часам.

Ответ: 15