Номер 6, страница 41 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

6. Найдите количество целых решений неравенства $x^2 + 4x < 12$.

6. Для того чтобы найти количество целых решений неравенства, решим его и определим, сколько целых чисел попадает в найденный интервал.

Исходное неравенство: $x^2 + 4x < 12$.

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство в стандартном виде:

$x^2 + 4x - 12 < 0$

Чтобы решить это неравенство, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 4x - 12 = 0$. Воспользуемся формулой для нахождения корней через дискриминант.

Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. Для нашего уравнения $a = 1$, $b = 4$, $c = -12$.

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$.

Корни уравнения $x_{1,2}$ находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 8}{2} = \frac{-12}{2} = -6$.

$x_2 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 8}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Мы нашли корни $x = -6$ и $x = 2$. Графиком функции $y = x^2 + 4x - 12$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен). Значения функции будут отрицательными (меньше нуля) на интервале между корнями.

Таким образом, решение неравенства $x^2 + 4x - 12 < 0$ — это интервал $x \in (-6, 2)$, или, в виде двойного неравенства, $-6 < x < 2$.

Теперь найдем все целые числа, которые удовлетворяют этому условию. Это числа, которые больше $-6$ и меньше $2$. Перечислим их:

$-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1$.

Посчитав их, получаем, что всего 7 целых решений.

Ответ: 7