Номер 10, страница 41 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. В аквацентре, который расположен в городе Гродно, один из бассейнов можно заполнять через две трубы, причем заполнение до максимальной метки через вторую — на 5 часов быстрее, чем через первую. Заполнение бассейна через обе трубы одновременно продолжается не более 6 часов. За какое наибольшее количество часов можно заполнить бассейн через вторую трубу?

Обозначим за $x$ время в часах, за которое вторая труба может заполнить бассейн.

Согласно условию, заполнение через вторую трубу происходит на 5 часов быстрее, чем через первую. Следовательно, первая труба заполняет бассейн за $(x+5)$ часов.

Производительность (скорость заполнения) второй трубы составляет $\frac{1}{x}$ бассейна в час.

Производительность первой трубы составляет $\frac{1}{x+5}$ бассейна в час.

При одновременной работе обеих труб их производительности складываются. Общая производительность равна $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5}$ бассейна в час.

Время $T$, необходимое для заполнения бассейна при совместной работе, вычисляется по формуле $T = \frac{1}{\text{общая производительность}}$.

$T = \frac{1}{\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5}}$

Приведем дроби в знаменателе к общему знаменателю:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} = \frac{x+5+x}{x(x+5)} = \frac{2x+5}{x(x+5)}$

Тогда время совместной работы равно:

$T = \frac{1}{\frac{2x+5}{x(x+5)}} = \frac{x(x+5)}{2x+5}$

По условию задачи, заполнение бассейна через обе трубы продолжается не более 6 часов, что можно записать в виде неравенства:

$\frac{x(x+5)}{2x+5} \le 6$

Поскольку время $x$ является положительной величиной ($x > 0$), то и знаменатель $2x+5$ также будет положительным. Следовательно, мы можем умножить обе части неравенства на $2x+5$, не меняя знака неравенства:

$x(x+5) \le 6(2x+5)$

$x^2 + 5x \le 12x + 30$

$x^2 + 5x - 12x - 30 \le 0$

$x^2 - 7x - 30 \le 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 7x - 30 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169 = 13^2$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 13}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 13}{2} = \frac{20}{2} = 10$

Графиком функции $y=x^2 - 7x - 30$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Неравенство $x^2 - 7x - 30 \le 0$ выполняется между корнями, то есть при $x \in [-3, 10]$.

Учитывая, что время $x$ не может быть отрицательным ($x > 0$), получаем итоговый промежуток для $x$: $x \in (0, 10]$.

Вопрос задачи — найти наибольшее количество часов, за которое можно заполнить бассейн через вторую трубу. Это соответствует максимальному значению $x$ из найденного промежутка.

Наибольшее возможное значение $x$ равно 10.

Ответ: 10.