Номер 9, страница 41 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD и BC проведена высота CH. Найдите площадь трапеции, если $CH = 12 \text{ см}$, диагональ $BD = 15 \text{ см}$.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Из условия задачи нам известна высота $CH = 12$ см и диагональ $BD = 15$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$, где $\frac{AD + BC}{2}$ — средняя линия трапеции, а $h$ — ее высота. В нашем случае $h = CH = 12$ см.

Для нахождения площади нам необходимо найти длину средней линии. Проведем из вершины $B$ высоту $BK$ на основание $AD$. Поскольку трапеция равнобедренная, ее высоты, проведенные из вершин верхнего основания, равны: $BK = CH = 12$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BKD$ (угол $BKD = 90^\circ$). В этом треугольнике гипотенуза $BD = 15$ см и катет $BK = 12$ см. По теореме Пифагора найдем длину второго катета $KD$: $KD^2 = BD^2 - BK^2$ $KD^2 = 15^2 - 12^2 = 225 - 144 = 81$ $KD = \sqrt{81} = 9$ см.

Теперь покажем, что длина отрезка $KD$ равна средней линии трапеции. В равнобедренной трапеции отрезок, отсекаемый высотой от вершины большего основания (например, $AK$), равен полуразности оснований: $AK = \frac{AD - BC}{2}$.

Длину отрезка $KD$ можно выразить как разность длин отрезков $AD$ и $AK$: $KD = AD - AK = AD - \frac{AD - BC}{2} = \frac{2 \cdot AD - (AD - BC)}{2} = \frac{2AD - AD + BC}{2} = \frac{AD + BC}{2}$.

Таким образом, отрезок $KD$ и есть средняя линия трапеции.

Теперь мы можем вычислить площадь трапеции, умножив ее среднюю линию на высоту: $S = KD \cdot CH = 9 \text{ см} \cdot 12 \text{ см} = 108 \text{ см}^2$.

Ответ: $108 \text{ см}^2$.