Номер 8, страница 41 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

8. Найдите значение выражения $a + x_0$, где $a$ — отрицательное число, при котором левая часть уравнения $4x^2 + ax + 9 = 0$ является квадратом разности, а $x_0$ — корень уравнения.

Согласно условию, левая часть уравнения $4x^2 + ax + 9 = 0$ является квадратом разности. Общая формула для квадрата разности двух выражений $m$ и $n$ выглядит так: $(m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$.

Сравним наш трехчлен $4x^2 + ax + 9$ с этой формулой. Мы можем видеть, что первый член $4x^2$ является квадратом выражения $2x$, то есть $m^2 = (2x)^2$. Третий член $9$ является квадратом числа $3$, то есть $n^2 = 3^2$. Таким образом, $m = 2x$ и $n = 3$.

Теперь мы можем записать левую часть уравнения в виде квадрата разности: $(2x - 3)^2$. Раскроем скобки, чтобы найти коэффициент $a$: $(2x - 3)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9$.

Сравнивая полученное выражение $4x^2 - 12x + 9$ с исходным $4x^2 + ax + 9$, мы видим, что $ax = -12x$. Отсюда следует, что $a = -12$. Это значение удовлетворяет условию задачи, так как $a$ — отрицательное число.

Теперь найдем корень уравнения $x_0$. Подставив значение $a$, мы получаем уравнение $4x^2 - 12x + 9 = 0$. Как мы уже установили, левую часть можно свернуть в квадрат: $(2x - 3)^2 = 0$.

Решим это уравнение: $2x - 3 = 0$ $2x = 3$ $x_0 = \frac{3}{2} = 1.5$.

На последнем шаге вычислим значение выражения $a + x_0$: $a + x_0 = -12 + 1.5 = -10.5$.

Ответ: $-10.5$.