Номер 9, страница 39 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. В равнобедренной трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ проведена высота $BK$. Найдите площадь трапеции, если $BK = 6$ см, диагональ $AC = 10$ см.

Дано:
Трапеция $ABCD$ — равнобедренная.
$AD$ и $BC$ — основания.
$BK$ — высота, $BK = 6$ см.
$AC$ — диагональ, $AC = 10$ см.
Найти: $S_{ABCD}$.

Решение

1. Проведем вторую высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. Так как трапеция $ABCD$ равнобедренная, то высоты, проведенные из вершин верхнего основания, равны. Следовательно, $CH = BK = 6$ см.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$. В нем гипотенуза $AC = 10$ см (диагональ трапеции), а катет $CH = 6$ см (высота). По теореме Пифагора найдем длину катета $AH$:
$AC^2 = AH^2 + CH^2$
$10^2 = AH^2 + 6^2$
$100 = AH^2 + 36$
$AH^2 = 100 - 36 = 64$
$AH = \sqrt{64} = 8$ см.

3. Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, а $h$ — высота. Величина $\frac{a+b}{2}$ является средней линией трапеции. В нашем случае $a=AD$, $b=BC$, $h=BK$.
$S_{ABCD} = \frac{AD+BC}{2} \cdot BK$.

4. В равнобедренной трапеции длина отрезка, отсекаемого высотой от большего основания (в нашем случае $AH$), равна длине средней линии. Докажем это.
Пусть $H$ — проекция точки $C$ на $AD$. Тогда $AH = AD - HD$. В равнобедренной трапеции отрезок $HD$ равен полуразности оснований: $HD = \frac{AD - BC}{2}$.
Подставим это в выражение для $AH$:
$AH = AD - \frac{AD - BC}{2} = \frac{2AD - (AD - BC)}{2} = \frac{2AD - AD + BC}{2} = \frac{AD + BC}{2}$.
Таким образом, длина отрезка $AH$ равна средней линии трапеции.

5. Теперь мы можем найти площадь трапеции, зная ее среднюю линию ($AH=8$ см) и высоту ($BK=6$ см):
$S_{ABCD} = AH \cdot BK = 8 \cdot 6 = 48$ см².

Ответ: 48 см².