Номер 8, страница 39 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

8. Найдите значение выражения $a + x_0$, где $a$ — положительное число, при котором левая часть уравнения $4x^2 - ax + 25 = 0$ является квадратом разности, а $x_0$ — корень уравнения.

По условию, левая часть уравнения $4x^2 - ax + 25 = 0$ является квадратом разности. Формула квадрата разности имеет вид: $(p - q)^2 = p^2 - 2pq + q^2$.

Применим эту формулу к выражению $4x^2 - ax + 25$.
Первый член $4x^2$ можно представить как $(2x)^2$. Значит, $p = 2x$.
Третий член $25$ можно представить как $5^2$. Значит, $q = 5$.
Тогда квадрат разности будет выглядеть как $(2x - 5)^2$.

Раскроем скобки: $(2x - 5)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 5 + 5^2 = 4x^2 - 20x + 25$.
Сравним полученное выражение с исходным $4x^2 - ax + 25$.
Видно, что коэффициенты при $x^2$ и свободные члены совпадают. Приравнивая коэффициенты при $x$, получаем:
$-a = -20$
$a = 20$

В условии сказано, что $a$ — положительное число. Найденное значение $a = 20$ удовлетворяет этому условию.

Теперь найдем корень уравнения $x_0$. Подставим значение $a=20$ в исходное уравнение:
$4x^2 - 20x + 25 = 0$
Как мы уже выяснили, левая часть является полным квадратом:
$(2x - 5)^2 = 0$
Отсюда следует, что:
$2x - 5 = 0$
$2x = 5$
$x_0 = \frac{5}{2} = 2.5$

Осталось найти значение выражения $a + x_0$.
$a + x_0 = 20 + 2.5 = 22.5$

Ответ: 22.5