Номер 9, страница 17 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. К раствору, содержащему 40 г соли, добавили 200 г воды, после чего концентрация соли уменьшилась на 10 %. Найдите первоначальную процентную концентрацию соли в растворе.

Пусть $m_1$ — первоначальная масса раствора, а $C_1$ — первоначальная процентная концентрация соли.

Масса соли в растворе составляет 40 г.

Первоначальная концентрация выражается формулой: $C_1 = \frac{\text{масса соли}}{\text{масса раствора}} \cdot 100\% = \frac{40}{m_1} \cdot 100$

После добавления 200 г воды, масса раствора стала $m_2 = m_1 + 200$ г.

Масса соли осталась прежней — 40 г.

Новая концентрация $C_2$ стала: $C_2 = \frac{40}{m_1 + 200} \cdot 100$

По условию задачи, концентрация уменьшилась на 10%. Это означает, что разница между первоначальной и новой концентрацией составляет 10 процентных пунктов: $C_1 - C_2 = 10$

Подставим выражения для $C_1$ и $C_2$ в это уравнение: $\frac{40}{m_1} \cdot 100 - \frac{40}{m_1 + 200} \cdot 100 = 10$

Для упрощения разделим все уравнение на 10: $\frac{400}{m_1} - \frac{400}{m_1 + 200} = 1$

Приведем левую часть к общему знаменателю $m_1(m_1 + 200)$: $\frac{400(m_1 + 200) - 400m_1}{m_1(m_1 + 200)} = 1$

Раскроем скобки в числителе: $\frac{400m_1 + 80000 - 400m_1}{m_1^2 + 200m_1} = 1$

Упростим числитель: $\frac{80000}{m_1^2 + 200m_1} = 1$

Отсюда получаем квадратное уравнение: $m_1^2 + 200m_1 = 80000$ $m_1^2 + 200m_1 - 80000 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = 200^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80000) = 40000 + 320000 = 360000$ $\sqrt{D} = \sqrt{360000} = 600$

Найдем корни уравнения: $m_{1,1} = \frac{-200 + 600}{2} = \frac{400}{2} = 200$ $m_{1,2} = \frac{-200 - 600}{2} = \frac{-800}{2} = -400$

Так как масса не может быть отрицательной, первоначальная масса раствора $m_1$ равна 200 г.

Теперь найдем первоначальную процентную концентрацию соли: $C_1 = \frac{40}{m_1} \cdot 100 = \frac{40}{200} \cdot 100 = \frac{1}{5} \cdot 100 = 20\%$

Ответ: 20%.