Номер 9, страница 15 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. К раствору, содержащему 30 г соли, добавили 100 г воды, после чего концентрация соли уменьшилась на 5 %. Найдите первоначальную процентную концентрацию соли в растворе.

Пусть $x$ — первоначальная процентная концентрация соли в растворе.

Процентная концентрация вещества в растворе определяется по формуле: $C = \frac{m_{вещества}}{m_{раствора}} \times 100\%$.

Масса соли в растворе, по условию, составляет $m_{соли} = 30$ г.

Пусть первоначальная масса раствора была $m_1$. Тогда первоначальная концентрация $x$ равна: $x = \frac{30}{m_1} \times 100$

Из этой формулы мы можем выразить первоначальную массу раствора $m_1$ через концентрацию $x$: $m_1 = \frac{30 \times 100}{x} = \frac{3000}{x}$ г.

К раствору добавили 100 г воды. Масса соли при этом не изменилась, а масса раствора увеличилась на 100 г. Новая масса раствора $m_2$ стала: $m_2 = m_1 + 100 = \frac{3000}{x} + 100$ г.

Новая концентрация соли $C_2$ в полученном растворе равна: $C_2 = \frac{30}{m_2} \times 100 = \frac{30}{\frac{3000}{x} + 100} \times 100$

По условию задачи, после добавления воды концентрация соли уменьшилась на 5%. Это означает, что новая концентрация $C_2$ на 5 процентных пунктов меньше первоначальной концентрации $x$: $C_2 = x - 5$

Приравняем два выражения для $C_2$ и получим уравнение относительно $x$: $x - 5 = \frac{30}{\frac{3000}{x} + 100} \times 100$

Решим это уравнение. Сначала преобразуем знаменатель в правой части: $\frac{3000}{x} + 100 = \frac{3000 + 100x}{x}$

Теперь подставим это в уравнение: $x - 5 = \frac{30 \times 100}{\frac{3000 + 100x}{x}} = \frac{3000x}{3000 + 100x}$

Чтобы упростить дробь, разделим числитель и знаменатель в правой части на 100: $x - 5 = \frac{30x}{30 + x}$

Умножим обе части уравнения на $(30 + x)$, при условии, что $x \neq -30$: $(x - 5)(30 + x) = 30x$ $30x + x^2 - 150 - 5x = 30x$

Приведем подобные члены и перенесем всё в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $x^2 + (30 - 5 - 30)x - 150 = 0$ $x^2 - 5x - 150 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-150) = 25 + 600 = 625$

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{625}}{2} = \frac{5 + 25}{2} = \frac{30}{2} = 15$ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{625}}{2} = \frac{5 - 25}{2} = \frac{-20}{2} = -10$

Так как концентрация не может быть отрицательной, корень $x_2 = -10$ не имеет физического смысла. Следовательно, первоначальная процентная концентрация соли в растворе была 15%.

Ответ: 15%.